推导2维镜像变换(Reflection Transform)的公式
我们知道2维的旋转变换公式为
Q
=
(
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
−
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
)
Q=\left( \begin{matrix} \cos \left( \theta \right)& \sin \left( \theta \right)\\ -\sin \left( \theta \right)& \cos \left( \theta \right)\\ \end{matrix} \right)
Q=(cos(θ)−sin(θ)sin(θ)cos(θ))
如果
y
=
Q
T
x
y=Q^{T}x
y=QTx，那么逆时针旋转x就得到了y。旋转矩阵可以看我的其他博客3维旋转的3种表示方法之间的关系，还有从几何与代数的角度推算坐标旋转变换矩阵(以2维为例)
而镜像变换，是点x以某个向量为轴，得到其镜像y。
Q
=
(
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
sin
(
θ
)
−
cos
(
θ
)
)
Q=\left( \begin{matrix} \cos \left( \theta \right)& \sin \left( \theta \right)\\ \sin \left( \theta \right)& -\cos \left( \theta \right)\\ \end{matrix} \right)
Q=(cos(θ)sin(θ)sin(θ)−cos(θ))
该镜像变换以向量
(
c
o
s
(
θ
/
2
)
,
s
i
n
(
θ
/
2
)
)
(cos(\theta/2),sin(\theta/2))
(cos(θ/2),sin(θ/2))为轴
镜像变换是对称矩阵，因此 y = Q T x = Q x y=Q^{T}x=Qx y=QTx=Qx
该镜像变换矩阵是怎么来的呢，下面进行推导。假设需要镜像的点为A
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
(x0,y0)，镜像后得到的点为B
(
x
1
,
y
1
)
(x_1,y_1)
(x1,y1)
那么就有下面两个约数（1）
A
B
→
\overrightarrow{AB}
AB垂直与向量，（2）A到向量的距离与B到向量的距离相等，并且方向相反。
根据条件(1)
(
x
0
−
x
1
)
cos
θ
2
+
(
y
0
−
y
1
)
sin
θ
2
=
0
\left( x_0-x_1 \right) \cos \frac{\theta}{2}+\left( y_0-y_1 \right) \sin \frac{\theta}{2}=0
(x0−x1)cos2θ+(y0−y1)sin2θ=0
向量
(
c
o
s
(
θ
/
2
)
,
s
i
n
(
θ
/
2
)
)
(cos(\theta/2),sin(\theta/2))
(cos(θ/2),sin(θ/2))可以看做一条直线，该直线为
−
sin
θ
2
x
+
cos
θ
2
y
=
0
-\sin \frac{\theta}{2}x+\cos \frac{\theta}{2}y=0
−sin2θx+cos2θy=0
A到该直线距离为
f
1
=
−
sin
θ
2
x
0
+
cos
θ
2
y
0
f1=-\sin \frac{\theta}{2}x_0+\cos \frac{\theta}{2}y_0
f1=−sin2θx0+cos2θy0
B到该直线距离为
f
2
=
−
sin
θ
2
x
1
+
cos
θ
2
y
1
f2=-\sin \frac{\theta}{2}x_1+\cos \frac{\theta}{2}y_1
f2=−sin2θx1+cos2θy1
条件(2)为
f
1
=
−
f
2
f1=-f2
f1=−f2
根据解这两个方程，就可以得到上面的镜像变换矩阵Q，我用mathematica验证，确实如此
