Nyquist frequency Nyquist rate

中文都翻译为奈奎斯特频率，Nyquist Rate也有翻译为奈奎斯特率的，特别闹心。

Nyquist Frequency 和 Nyquist Rate

1.奈奎斯特频率（Nyquist Frequency）

定义：
奈奎斯特频率是奈奎斯特定理中的关键参数，定义为采样频率的一半：
$$f_{\text{Nyquist}}=\frac{f_s}{2}$$
它是信号能够被无失真采样的最高允许频率。例如：

• 若采样频率$f_s=44.1\text{ kHz}$（如CD音频标准），则奈奎斯特频率为$22.05\text{ kHz}$，信号中最高频率不能超过这一值。

意义：

• 频率上限：任何高于奈奎斯特频率的信号成分都会产生混叠，导致无法准确恢复原始信号。
• 设计依据：在工程中，系统设计需确保信号的最高频率低于奈奎斯特频率，或通过滤波器限制信号带宽。

2. 区别

术语	定义	公式
Nyquist Frequency	采样频率（$f_s$）的一半，是信号采样时能无混叠重建的最高频率。	$f_{\text{Nyquist}}=\frac{f_s}{2}$
Nyquist Rate	信号最高频率（$f_{\text{max}}$）的两倍，是无失真采样的最低采样频率。	$f_{\text{Nyquist Rate}}=2\cdot f_{\text{max}}$

特性	Nyquist Frequency	Nyquist Rate
作用	信号采样时的频率上限（最高可采样频率）。	采样系统必须满足的最低采样速率。
依赖关系	由采样频率$f_s$ 决定。	由信号最高频率$f_{\text{max}}$ 决定。
应用场景	确定信号的最高安全频率（如滤波器截止频率）。	设计采样系统时选择合适的采样率（如ADC/DAC）。
物理意义	频率值（Hz），是采样系统的“天花板”。	速率值（Hz），是采样系统的“最低门槛”。

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3. 关键联系

• 理论基础：两者均基于奈奎斯特-香农采样定理：
  $$f_s\ge 2f_{\text{max}}\text{（采样定理）}$$
  • Nyquist Rate 是定理中要求的最小采样率，而 Nyquist Frequency 是满足该条件时的最大可采样信号频率。

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4. 典型应用场景

• Nyquist Frequency：

  • 抗混叠滤波器设计：确保信号中高于$f_{\text{Nyquist}}$ 的成分被滤除。例如，音频信号采样时，若$f_s=44.1\text{kHz}$，则抗混叠滤波器需截止在$22.05\text{kHz}$。
  • CCD相机分辨率：像元间距决定了系统的奈奎斯特频率，用于评估成像清晰度。

• Nyquist Rate：

  • 采样系统设计：例如，若信号最高频率为$20\text{kHz}$，则需至少$40\text{kHz}$ 的采样率（如CD音频标准）。
  • 通信系统：在理想信道中，带宽$W$ 对应的最高符号速率（波特率）为$2W$（奈奎斯特第一准则）。

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5. 常见误区与注意事项

• 混叠现象：
  • 当$f_{\text{max}}>f_{\text{Nyquist}}$ 时，高频信号会“折叠”到低频段，导致失真。例如，以$100\text{Hz}$ 采样$150\text{Hz}$ 的信号，会表现为$50\text{Hz}$。
• 严格条件：
  • 若信号频率恰好等于$f_{\text{Nyquist}}$，重建时会因相位模糊而无法唯一确定原始信号（需严格满足$f_{\text{Nyquist}}>f_{\text{max}}$）。