数据结构--并查集-高效处理连通性问题
一、理论基础
（1）并查集的功能及实现原理
首先要知道并查集可以解决什么问题呢？
当我们需要判断两个元素是否在同一个集合里的时候，我们就要想到用并查集。
并查集主要有两个功能：
- 将两个元素添加到一个集合中。
- 判断两个元素在不在同一个集合
如何将两个元素添加到一个集合中？
将三个元素A，B，C （分别是数字）放在同一个集合，其实就是将三个元素连通在一起，如何连通呢。
只需要用一个一维数组来表示，即：father[A] = B，father[B] = C 这样就表述 A 与 B 与 C连通了（有向连通图）。
// 将v，u 这条边加入并查集 void join(int u, int v) {u = find(u); // 寻找u的根v = find(v); // 寻找v的根if (u == v) return; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回father[v] = u; }find函数是如何实现的呢？其实就是通过数组下标找到数组元素，一层一层寻根过程，代码如下：
// 并查集里寻根的过程 int find(int u) {if (u == father[u]) return u; // 如果根就是自己，直接返回else return find(father[u]); // 如果根不是自己，就根据数组下标一层一层向下找 }路径压缩：
// 并查集里寻根的过程 int find(int u) {if (u == father[u]) return u;else return father[u] = find(father[u]); // 路径压缩 }默认自己指向自己，所以
// 并查集初始化 void init() {for (int i = 0; i < n; ++i) {father[i] = i;} }
如何判断两个元素是否在同一个集合里？
如果通过 find函数 找到 两个元素属于同一个根的话，那么这两个元素就是同一个集合，代码如下：
// 判断 u 和 v是否找到同一个根 bool isSame(int u, int v) {u = find(u);v = find(v);return u == v; }
（2）代码模版
int n = 1005; // n根据题目中节点数量而定，一般比节点数量大一点就好
vector<int> father = vector<int> (n, 0); // C++里的一种数组结构// 并查集初始化
void init() {for (int i = 0; i < n; ++i) {father[i] = i;}
}
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {if (u == father[u]) return u;else return father[u] = find(father[u]); // 路径压缩
}// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool isSame(int u, int v) {u = find(u);v = find(v);return u == v;
}// 将v->u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {u = find(u); // 寻找u的根v = find(v); // 寻找v的根if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回father[v] = u;
}通过模板，我们可以知道，并查集主要有三个功能。
- 寻找根节点，函数：find(int u)，也就是判断这个节点的祖先节点是哪个
- 将两个节点接入到同一个集合，函数：join(int u, int v)，将两个节点连在同一个根节点上
- 判断两个节点是否在同一个集合，函数：isSame(int u, int v)，就是判断两个节点是不是同一个根节点
（3）模拟过程
join(3, 8)在图中为什么 将 元素1 连向元素 3 而不是将 元素 8 连向 元素 3 呢？因为在
join(int u, int v)函数里 要分别对 u 和 v 寻根之后再进行关联。
为什么 图中 8 又直接指向了 3 了呢？
代码在寻找根的过程中，会有路径压缩的优化 ，减少 下次查询的路径长度。
这里为什么是 2 指向了 6，因为 9的根为 2，所以用2指向6。
（4）应用
连通性问题（图论）：判断两点是否在同一个连通块、连通块计数
【把图中每条边两端的点用并查集合并，判断某两个点是否在同一个集合里，就等于判断它们是否在同一个连通块中。查询连通性：判断两个点 a 和 b 是否连通，只需看 find(a) == find(b) 是否成立。】
【遍历所有节点，统计父节点为自身的节点数量（即根节点数量），即为连通块个数。if (fa[s] == s) landcount++;】
最小生成树
二、基础题练习
（1）排座位
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 110; // 最大节点数
int fa[N], g[N][N]; // fa数组表示并查集的父节点，g是邻接矩阵记录关系（朋友或敌人）// 并查集的查找函数，带路径压缩
int find(int x) {if (x == fa[x]) return x; // 如果当前节点是自己的根，返回它自己else return fa[x] = find(fa[x]); // 否则递归查找，并路径压缩
}// 并查集的合并函数
void merge(int x, int y) {int xx = find(x); // 找到x的根int yy = find(y); // 找到y的根if (xx == yy) return; // 如果已经在同一个集合中，不用合并fa[yy] = xx; // 否则把y的集合合并到x中return;
}int main() {int n, m, k;cin >> n >> m >> k; // n个点，m条关系，k次查询// 初始化并查集：每个点的父亲是自己for (int i = 1; i < N; i++) fa[i] = i;// 输入m条关系for (int i = 0; i < m; i++) {int x, y, z;cin >> x >> y >> z;g[x][y] = g[y][x] = z; // 建图，g[x][y] = z，z是关系类型（1表示朋友，-1表示敌人）if (z == 1) // 如果是朋友merge(x, y); // 用并查集把他们合并为一个集合}// k 次查询while (k--) {int x, y;cin >> x >> y;int xx = find(x), yy = find(y); // 找到两个点所在的集合根if (xx == yy && g[x][y] != -1) // 如果在一个集合，并且不是敌人cout << "No problem" << endl;else if (xx != yy && g[x][y] != -1) // 如果不在一个集合，但不是敌人（可能认识但不熟）cout << "OK" << endl;else if (xx == yy && g[x][y] == -1) // 如果在一个集合但是敌人（朋友里有矛盾）cout << "OK but..." << endl;else // 不在一个集合，又是敌人（八竿子打不着）cout << "No way" << endl;}
}
（2）部落
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 1e4 + 10; // 最大编号范围，保证能容纳所有人
int fa[N]; // 并查集的父亲数组
map<int, bool> st; // 用于记录输入中出现过的人（防止0~N全部初始化）// 查找函数（带路径压缩）
int find(int x) {if (x == fa[x]) return x;else return fa[x] = find(fa[x]);
}// 合并函数：把x和y所在的集合合并
void merge(int x, int y) {int xx = find(x), yy = find(y);if (xx == yy) return;fa[yy] = xx; // 将y的根指向x的根return;
}int main() {int n;cin >> n;// 初始化：fa[i] = ifor (int i = 0; i < N; i++) fa[i] = i;// 处理输入的朋友圈信息for (int i = 0; i < n; i++) {int k, first_;cin >> k; // 该组朋友圈人数for (int j = 0; j < k; j++) {if (j == 0) {cin >> first_; // 记录第一个人if (st.count(first_) == 0) st[first_] = 1; // 记录这个人出现了} else {int x;cin >> x; // 输入其余的人if (st.count(x) == 0) st[x] = 1; // 记录新出现的人merge(x, first_); // 把当前人和第一个人合并（建朋友圈）}}}// 输出所有出现过的人数cout << st.size() << " ";// 统计朋友圈数量（根节点数量）int num = 0;for (int i = 0; i < N; i++) {if (fa[i] == i && st.count(i) != 0) // 是自己父亲+出现过的人num++;}cout << num << endl;// 查询部分int q;cin >> q;while (q--) {int x, y;cin >> x >> y;if (find(x) == find(y)) cout << "Y" << endl; // 在同一个朋友圈else cout << "N" << endl; // 不在一个朋友圈}return 0;
}
