【概率论，算法】排列的峰值期望

Surtr1 的珂学难题

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/107965/E

给定一个长度为 $n$ 的排列 $p$，排列中任一位置如果满足以下条件，则称该位置为 峰值：

• 位置 1：若存在元素，满足 $p[1]>p[2]$，则 $p[1]$ 为峰值。
• 位置 n：若存在元素， $p[n]>p[n-1]$，则 $p[n]$ 为峰值。
• 位置 2 至 n-1：若 $p[i]>p[i-1]$ 且 $p[i]>p[i+1]$，则 $p[i]$ 为峰值。

Surtr1定义一个排列的价值为所有峰值位置的和，具体来说，对于排列 { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} {1,2,3} 位置3为峰值位置，而位置1和2不是，所以该排列的价值为 3 ，对于排列 { 3 , 1 , 2 } \{ 3,1,2\} {3,1,2}，位置1和3为峰值位置，而位置2不是，所以该排列的价值为 $1+3=4$。

现在有一个长度为 $n$ 的随机排列，求该随机排列价值的期望。
但是Surtr1的数学非常差，所以他想将这个问题交给你，你能帮他解决吗？

长度为 n 的排列是由 1 到 n 这 n 个整数，按任意顺序组成的数组，其中每个整数恰好出现一次。例如： { 2 , 3 , 1 , 5 , 4 } \{2, 3, 1, 5, 4\} {2,3,1,5,4} 是一个长度为 5 的排列。

而以下则不是有效的排列： { 1 , 2 , 2 } \{1, 2, 2\} {1,2,2}，因为存在重复元素。 { 1 , 3 , 4 } \{1, 3, 4\} {1,3,4}，因为包含了超出范围的数。

输入格式

输入一个正整数 $n$ $(2\le n\le 10)$ ，代表随机排列的长度。

输出格式

输出一个字符串，表示期望值的不可约分数（形如 $A/B$）。即使结果为整数，也需要输出成分数形式（例如，1 应输出为 $1/1$）。

样例输入与输出

样例 1

输入：
3

输出：
8/3

对于 $n=3$，有三个位置：

• 位置 1 的峰值概率为 $1/2$；
• 位置 2 的峰值概率为 $1/3$；
• 位置 3 的峰值概率为 $1/2$。

因此，期望值为：
$1\ast (1/2)+2\ast (1/3)+3\ast (1/2)=(1\ast 3+2\ast 2+3\ast 3)/6=16/6=8/3$
$设每个排列的价值为V_i$
$对于n=3，有以下6种情况：$
{ 1 , 2 , 3 } : 峰值位置为 3 , V 1 = 3 ; \{1,2,3\}: 峰值位置为 3, \quad V_1 = 3; {1,2,3}:峰值位置为3,V1​=3;
{ 1 , 3 , 2 } : 峰值位置为 2 , V 2 = 2 ; \{1,3,2\}: 峰值位置为 2,\quad V_2 = 2; {1,3,2}:峰值位置为2,V2​=2;
{ 2 , 1 , 3 } : 峰值位置为 1 和 3 , V 3 = 1 + 3 = 4 ; \{2,1,3\}: 峰值位置为 1 和 3, \quad V_3 = 1+3 = 4; {2,1,3}:峰值位置为1和3,V3​=1+3=4;
{ 2 , 3 , 1 } : 峰值位置为 2 , V 4 = 2 ; \{2,3,1\}: 峰值位置为 2,\quad V_4 = 2; {2,3,1}:峰值位置为2,V4​=2;
{ 3 , 1 , 2 } : 峰值位置为 1 和 3 , V 5 = 1 + 3 = 4 ; \{3,1,2\}:峰值位置为 1 和 3,\quad V_5 = 1+3 = 4; {3,1,2}:峰值位置为1和3,V5​=1+3=4;
{ 3 , 2 , 1 } : 峰值位置为 1 , V 6 = 1. \{3,2,1\}: 峰值位置为 1,\quad V_6 = 1. {3,2,1}:峰值位置为1,V6​=1.
$E=\frac{1}{6}{\sum }_{i=1}^6{V}_i=\frac{3+2+4+2+4+1}{6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}.$

题解：
这道题正解是 $O(1)$ 的，但这里放成了$O(N)$可做
设$X$为随机排列的价值，$E(X)$为随机排列价值的期望，我们发现直接求无从下手，但是根据期望的线性性，我们可以把复杂事件（或复杂随机变量）拆成若干个“子事件”，通过求子事件的期望即可求出$X$的期望
设 $0-1$ 随机变量 $X_i$表示第 $i$ 个位置是否为峰值( 当$i>=2\&\&i<=n-1$时)
$$X_i=\{\begin{array}{ll}1,& P[i]>P[i-1]\text{ \&\& }P[i]>P[i+1],\\ 0,& \text{else}.\end{array}$$
那么$$X=X_1+\sum _{i=2}^{n-1}{X}_i+X_n$$
$$E[X]=E(X_1)+E\left[\sum _{i=2}^{n-1}{X}_i\right]+E(X_n)=E(X_1)+\sum _{i=2}^{n-1}E[X_i]+E(X_n).$$
那么第$i$个位置的期望$E(X_i)$怎么求呢？很简单，我们只需要考虑 $i$ 这个位置$p[i]>p[i-1]$ 且 $p[i]>p[i+1]$ 的概率即可。
在一个 $1-n$ 的排列中，随机选 $k$ 个数，求第一个数比其他几个数小的概率
$$p=\frac{(k-1)!}{k!}=\frac{1}{k}.$$
那么对应到这题，$P(X_i)=\frac{1}{3}$，那么$E(X_i)=\frac{i}{3}$，特别的$E(X_1)=\frac{1}{2}$，$E(X_n)=\frac{n}{2}$
结果就是 ：
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{n}E(X_i)& =E(X_1)+\sum _{i=2}^{n-1}\frac{i}{3}+E(X_n)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(\sum _{i=2}^{n-1}i\right)+\frac{n}{2}\\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(\frac{n(n-1)}{2}-1\right)+\frac{n}{2}\\ & =\frac{3(n+1)}{6}+\frac{n(n-1)-2}{6}\\ & =\frac{3n+3+n^2-n-2}{6}\\ & =\frac{n^2+2n+1}{6}\\ & =\frac{(n+1{)}^2}{6}.\end{array}$$
最后的结果通分一下即可
代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;
}void solve(){ll n;cin>>n;ll zi=0,mu=0;zi = (n+1)*(n+1);mu = 6;//约分ll gd = gcd(zi,mu);zi/=gd,mu/=gd;cout<<zi<<'/'<<mu<<'\n';
}int main(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);int _ = 1;while(_--)solve();
}