算法题（129）：二维前缀和

审题：

本题需要我们将q组矩阵的和打印出来

思路：
方法一：二维前缀和

由于本题使用暴力的模拟方法运行次数高达1e11，会超时，所以我们采用运行次数在1e6的二维前缀和来解题

第一步：前缀和的求法

x = i，y = j的二维矩阵前缀和f[i][j]就是A + B + C + a[i][j]

而为了将式子转化为表达式，我们可以将式子和前缀和联系起来：
(A+B) + （A+C）- A + a[i][j]

而A+B的面积就是x=i-1，y=j的位置的前缀和：f[i-1][j]

其他同理，于是转化为：f[i][j] = f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i-1][j-1]+a[i][j]

第二步：根据矩阵的左上角坐标和右下角坐标确定矩阵和

思考方法和前面类似：

f[x2][y2] = A+B+C+answer

=> (A+B)+(A+C)-A+answer

最终推导得到：answer = f[x2][y2]+f[x1-1][y1-1]-f[x1-1][y2]-f[x2][y1-1]

解题：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll; 
ll n,m,q;
const ll N = 1e3+10;
ll f[N][N];//前缀和数组
ll a[N][N];
int main()
{//数据录入cin >> n >> m >> q;for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= m; j++){cin >> a[i][j];}}//前缀和处理for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= m; j++){f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1] - f[i-1][j-1] + a[i][j];}}//数据处理并输出while(q--){ll x1,x2,y1,y2;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;ll answer = f[x2][y2]+f[x1-1][y1-1]-f[x1-1][y2]-f[x2][y1-1];cout << answer << endl;}return 0;
}

注意：

1.本题采取索引为1的存储方式：

其一是为了和题目给的索引对应

其二是为了避免进行边界检查，因为推导的公式中存在访问i-1或j-1的，如果从索引为0开始计算会出现越界访问-1的情况

2.本题需要采用long long 类型：因为题目中的数据范围是-1e9~1e9，这是很大的，如果进行运算很容易就超过int的存储范围

【模板】二维前缀和