数字系统与编码
1. 数字系统（Number Systems）
1.1 常见数字系统
| 系统 | 基数 | 符号集 | 示例 | 应用场景 |
|---|---|---|---|---|
| 二进制 | 2 | 0, 1 | 1010 | 计算机底层电路、数据存储 |
| 八进制 | 8 | 0-7 | 17 | Unix文件权限（如chmod 755） |
| 十进制 | 10 | 0-9 | 42 | 日常计算 |
| 十六进制 | 16 | 0-9, A-F | 0x1F | 内存地址、颜色编码（#RRGGBB） |
1.2 进制转换方法
- 其他进制 → 十进制：加权求和
1010_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 10_{10} - 十进制 → 其他进制：短除法取余
42_{10} \rightarrow 42÷2=21余0 → 21÷2=10余1 → ... → 101010_2 - 二进制 ↔ 十六进制：4位分组转换
1101\_0110_2 → D6_{16}
2. 数据编码（Data Encoding）
2.1 数值编码
| 编码类型 | 表示方法 | 范围（8位） | 特点 |
|---|---|---|---|
| 原码 | 最高位为符号位（0正1负） | -127 ~ +127 | 零有+0和-0两种表示 |
| 反码 | 负数：符号位不变，其余位取反 | -127 ~ +127 | 过渡方案，现较少使用 |
| 补码 | 负数：反码+1 | -128 ~ +127 | 现代计算机标准，消除零歧义 |
| 移码 | 补码符号位取反 | -128 ~ +127 | 用于浮点数阶码（如IEEE 754） |
示例：
-5的8位补码表示：原码：1000 0101 → 反码：1111 1010 → 补码：1111 1011
2.2 字符编码
| 标准 | 覆盖范围 | 存储方式 | 局限性 |
|---|---|---|---|
| ASCII | 英文、数字、控制字符（128个） | 1字节（7位） | 无法表示非拉丁字符 |
| Unicode | 全球文字（如中文、emoji） | UTF-8（变长1-4字节） | 兼容ASCII，互联网首选 |
| GB2312 | 简体中文（6763个汉字） | 2字节 | 仅支持简体中文 |
UTF-8编码规则：
- 1字节：
0xxxxxxx（兼容ASCII） - 2字节：
110xxxxx 10xxxxxx - 3字节：
1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx - 4字节：
11110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx
3. 高级编码技术
3.1 浮点数编码（IEEE 754）
\text{值} = (-1)^S × 1.M × 2^{E-127}
- 32位单精度：
S(1位) | E(8位) | M(23位) - 示例：
-0.75的二进制表示：符号位S=1，0.75=1.1×2^{-1} → E=126(01111110), M=1000...0 最终：1 01111110 10000000000000000000000
3.2 错误检测编码
- 奇偶校验：附加1位使1的个数为奇/偶
数据：1010 → 偶校验：1010_0（1的个数为偶数） - CRC循环冗余校验：多项式模2除法（用于网络传输）
- 汉明码：可纠正单比特错误的纠错编码
4. 实际应用案例
4.1 计算机内存存储
- 小端序（Little Endian）：低位字节存储在低地址
32位整数0x12345678在内存中的存储（地址递增方向）： 78 56 34 12
4.2 图像颜色编码
- RGB24位色：
R(8位) | G(8位) | B(8位) → 如纯红色：0xFF0000 - ARGB32位色：增加透明度通道（Alpha）
4.3 条形码与二维码
- EAN-13条形码：13位数字（前导位+左右数据+校验位）
- QR码：使用Reed-Solomon纠错编码，支持汉字（需UTF-8转换）
5. 关键问题与解决方案
Q1: 为何计算机使用补码表示负数？
- 解决零的歧义：补码中
+0和-0表示相同（均为000...0） - 简化运算电路：加法器无需区分正负数，统一处理（如
5 + (-3)可直接相加）
Q2: UTF-8如何实现变长编码？
- 前缀码设计：通过起始比特模式标识字节数（如
110开头的必为2字节字符首字节） - 兼容性：ASCII字符（0-127）保持单字节不变
总结
数字系统与编码是计算机科学的基石，理解其原理对以下领域至关重要：
- 硬件设计（如CPU算术单元）
- 数据压缩（如哈夫曼编码）
- 网络安全（如校验和验证）
- 跨平台数据交换（如字符编码转换）
掌握进制转换、补码运算和Unicode处理能力，是开发者的核心技能之一。