数据结构图论基础知识（一）

1. 图的基本概念

1. （graph）图由边（edge）和顶点（Vertex）构成
2. 图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中：顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合
3. E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合。
4. 图更关注元素与元素之间的关系
5. 图分为有向图和无向图
6. 二叉树也是图吗？
树是一种特殊的（无环联通图）图，但是图不一定是树，再者树关心的是节点中存的值，图关注的是顶点和边的权值

2. 图的一些现实的应用

2.1 ABCDE各个城市之间的关系

1. 顶点：城市
2. 边：城市之间的关系（比如它们之间的距离，到达的时间，）
3. 保证联通情况下的最小开销，D点要到达B点的最小距离就可以是一个最小生成树的问题
4. 最小生成树：用最小的代价，把图中的两个点间接地连在一起

2.2 社交关系

1. 顶点：人
2. 边：表示两个人是好友
3. 权值：可以表示两个人之间的亲密度
4. qq，微信等都是无向图，是强社交关系：表示两个人互相都是好友
5. 微博，抖音等都是有向图，是社交媒体关系，是弱社交关系：我可以关注喜欢的博主，但是博主不一定关注了我

3. 图的存储结构

3.1邻接矩阵

1. 因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。

2. 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。
3. 如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不通，则使用无穷大代替。

4. 用邻接矩阵存储图的好处是能够快速知道两个顶点是否连通O(1)，缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路径不是很好求，不适合查找一个顶点所连接的所有边O(N)，比如查找3这个顶点的所有边，要看0，1，2，3是否为1，也就是要查找N次

3.2 邻接矩阵的实现

#pragma once#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
#include<map>
using namespace std;// 邻接矩阵
namespace matrix
{// 无向图,V顶点,W边template<class V,class W,W MAX_W = INT_MAX,bool Direction = false>class Graph{public:// 图创建的方式：// 1.io输入,不方便测试,oj测试比较方便// 2.图的结构写到文件中,读取文件// 3.手动添加边,方便测试// 图的初始化Graph(const V* a, size_t n)// 传一个顶点相关的集合进行初始化{// 顶点的集合_vertexs.reserve(n);for (size_t i = 0; i < n; i++){_vertexs.push_back(a[i]);_indexMap[a[i]] = i;// 顶点和下标的映射}_matrix.resize(n);for (int i = 0; i < _matrix.size(); i++){_matrix[i].resize(n,MAX_W);}}// 获取顶点的下标,检查顶点是否是错误的size_t GetVertexIndex(const V& v){auto it = _indexMap.find(v);if (it != _indexMap.end()){return it->second;}else{// 抛异常throw invalid_argument("顶点不存在");return -1;}}// 给序号为两个节点的添加边(权值)void AddEdge(const V& src,const V& dst,const W& w){size_t srci = GetVertexIndex(src);size_t dsti = GetVertexIndex(dst);_matrix[srci][dsti] = w;// 无向图需要添加两个有关联的边if (Direction == false) _matrix[dsti][srci] = w;}// 打印void Print(){// 顶点for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++){cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << '\n';}cout << '\n';cout << "  ";// 横着的下标for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++){cout << i << " ";}cout << '\n';// 邻接矩阵for (int i = 0; i < _matrix.size(); i++){// 竖着的下标cout << i << " ";for (int j = 0; j < _matrix[i].size(); j++){if (_matrix[i][j] == MAX_W){cout << "*" << " ";}elsecout << _matrix[i][j] << " ";}cout << '\n';}}private:vector<V> _vertexs;// 顶点集合map<V, int> _indexMap;// 顶点映射下标vector<vector<W>> _matrix;// 邻接矩阵};void TestGraph(){char vertices[] = { '0', '1', '2', '3' };  // 显式传入 char 数组Graph<char, int, INT_MAX, true> g(vertices, 4);g.AddEdge('0', '1', 1);g.AddEdge('0', '3', 4);g.AddEdge('1', '3', 2);g.AddEdge('1', '2', 9);g.AddEdge('2', '3', 8);g.AddEdge('2', '1', 5);g.AddEdge('2', '0', 3);g.AddEdge('3', '2', 6);g.Print();}
}#include"Graph.h"
using namespace std;int main()
{matrix::TestGraph();return 0;
}

3.3 邻接表

邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。
1.无向图邻接表存储

2. 有向图邻接表存储，一般情况下，存储一个出边表即可，主要是为了找到一个顶点连接出去的路径有哪些

总结一下，邻接矩阵和邻接表是相辅相成的关系，各有优缺点，两者具有互补的关系