算法题（133）：二维差分

审题：
本题需要我们多次对某个矩形区域的数据加k，最后输出加完的数据

思路：
方法一：二维差分

本题涉及的是对二维的区间加同一个数的操作，且只显示一次最终结果，所以我们可以使用差分的方法

二维差分的性质：

1.和一维差分还原方法类似，二维差分的还原方法是从(1,1)开始求f[i][j]的前缀和

2.对某个位置的差分值加k：相当于对前缀和计算时包含该位置的数据索引位置都加了k

图示：图示为差分数组

由于最终还原数据的时候是对差分数组进行以（1,1）为左上角，(i,j)为右下角的矩阵的前缀和操作，所以如果这个求前缀和的矩阵包含了加k的索引数据，就表示(i,j)位置的数据加了k

3.进行二维差分修改和创建的方法

图示1：原二维数组

假设我们对图示的位置数据都加了k，相当于对以（2，3）为左上角，以（3.6）为右下角的矩阵集体进行加k操作

图示2：差分二维数组

首先我们对（2,3）加k，此时表示从(2,3)到(9,9)区域的数据都加了k

由于我们只能对红色区域加k，所以我们要消除（2,3）位置加k对其他位置的影响

第一步：在（2,7）位置-k，消除从（2,7）为左上角（9,9）为右下角的矩阵+k的影响

第二步：在（4,3）位置-k，消除从（4,3）为左上角（9,9）为右下角的矩阵+k的影响

第三步：由于（4,7）为左上角，（9,9）为右下角的矩阵经过两次-k，所以我们还需要加k来消除多减的k的影响

总结：

构建和修改操作:

x1,y1为左上角坐标，x2,y2为右下角坐标

        f[x1][y1] += k;
        f[x2 + 1][y1] -= k;
        f[x1][y2 + 1] -= k;
        f[x2 + 1][y2 + 1] += k;

解题：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1010;
int n, m, q;
ll f[N][N];//差分数组
int main()
{cin >> n >> m >> q;//预处理差分数组for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++){ll num;cin >> num;f[i][j] += num;f[i + 1][j] -= num;f[i][j + 1] -= num;f[i + 1][j + 1] += num;}}//修改差分while (q--){ll x1, x2, y1, y2, k;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> k;f[x1][y1] += k;f[x2 + 1][y1] -= k;f[x1][y2 + 1] -= k;f[x2 + 1][y2 + 1] += k;}//还原数据for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++){f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1] + f[i][j];cout << f[i][j] << " ";}cout << endl;}return 0;
}

第一步：构建差分数组

第二步：修改差分数组

第三步：还原每个位置的数据并输出

【模板】二维差分