数模学习：一，层次分析法
基本定位：
适用于解决评价，选择类问题（数值不确定，需要自己结合资料数据等自己填写）。
引入：
若要解决选择类的问题，打分的方式最为常用——即采用权重表：
| 指标权重 | 选择1 | 选择2 | ........ | |
| 指标1 | ||||
| 指标2 | ||||
| 指标3 | ||||
| ........ |
各指标权重之和为1，各方案在某指标上的打分之和也应为1.
那么我们来看一道例题：
A想去旅游，在查阅网上攻略后，初步选择了苏杭，北戴河，桂林三地之一作为目标景点。
请你确定评价指标，形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案：
评价类问题的入手思路：
1，我们评价的目标是什么？
2，我们为了达成这个目标，有哪几种方案？
3，评价的标准或者说指标是什么？
在本题中：
1，为A 找到最佳的景点。
2，三地。
3，答案常常需要根据题目的背景资料，常识，网上搜集的资料进行结合，筛选出最合适的指标
网上资料搜索推荐：
1，知网——引用论文，同时学习分析方法
2，https://search.chongbuluo.com/
那么假设现在已经找到了以下五个指标：
景色，花费，居住，饮食，交通；
列出权重表：
| 指标权重 | 苏杭 | 北戴河 | 桂林 | |
| 景色 | ||||
| 花费 | ||||
| 居住 | ||||
| 饮食 | ||||
| 交通 |
那么剩下的就是找到各指标的权重大小：
问题——当分析多因素对于某一问题的影响大小时，单独分析某一个因素的影响可能会有失偏颇
解决方法：
采用分而治之的思想——要求被分析对象两两指标之间进行比较，根据最终的比较结果来推算权重
——这就是层次分析法的思想。
层次分析法的思想：
| 标度 | 含义 |
| 1 | 表示两个因素相比，同等重要 |
| 3 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个稍微重要 |
| 5 | 表示两因素相比，一个因素比另一个明显重要 |
| 7 | 表示两因素相比，一个因素比另一个强烈重要 |
| 9 | 表示两因素相比，一个因素比另一个极端重要 |
| 2,4,6,8 | 表示相邻判断之间的中值 |
| 倒数 | 若A比B标度为3，则B比A标度为1/3 |
| 景色 | 花费 | 居住 | 饮食 | 交通 | |
| 景色 | 1 | 1/2 | 4 | 3 | 3 |
| 花费 | 2 | 1 | 7 | 5 | 5 |
| 居住 | 1/4 | 1/7 | 1 | 1/2 | 1/3 |
| 饮食 | 1/3 | 1/5 | 2 | 1 | 1 |
| 交通 | 1/3 | 1/5 | 3 | 1 | 1 |
总结：
上面的表格为一个5 X 5 的矩阵，即为A，对应元素即为. 具有如下特点：
1，表示的是与指标j相比，指标i的重要程度。
2，满足（称该矩阵为正互反矩阵）
上述矩阵即为层次分析法中的判断矩阵
同样方法也能用判断矩阵得到各个方案对于某一因素的权重大小
PS：一个可能出现矛盾的地方：
例如：
苏杭 = A， 北戴河 = B，桂林 = C；
苏杭比北戴河景色好一点：A > B； 苏杭和桂林景色一样好：A = C；
北戴河比桂林景色好一点：B > C;
此种情况应如何解决？
首先引入一致矩阵的概念：
一致矩阵：
若所构造的判断矩阵满足，则称其为一致矩阵。
满足——各行（列）之间成倍数关系
我们在使用判断矩阵求权重之前，就必须对其进行一致性检验。
进行一致性检验的意义：
可能存在的问题：
例如：
设定苏杭 = A，北戴河 = B，桂林 = C；
苏杭比北戴河景色好一点：A > B; 苏杭和桂林景色一样好： A = C；
北戴河比桂林景色好一点： B > C;
此类题中出现了前后相矛盾的情况
故一致性检验的目的：为了检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的区别
引理基础：
1，A为n阶矩阵，且r(A) = 1，则A有一个特征值tr(A),其余特征值均为0；
因为一致矩阵的各行成比例，故矩阵的秩一定为1，有一个特征值为n，其余特征值均为0；
2，n阶正互反矩阵A为一致矩阵时，当且仅当最大特征值 = n；
当n阶正互反矩阵A非一致时，一定满足最大特征值 > n;
判断矩阵越不一致，最大特征值与n相差越大；
一致性检验的步骤：
1，计算一致性指标CI；
2,查找对应的平均随机一致性指标RI：
用随机方法构造500个样本矩阵，并随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值D，并定义：
3，计算一致性比例CR：
若CR < 0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正
判断矩阵怎么计算权重：
若我们所构造的判断矩阵已通过一致性检验。
法1（算术平均法）：
| 景色 | 苏杭 | 北戴河 | 桂林 |
| 苏杭 | 1 | 2 | 4 |
| 北戴河 | 1/2 | 1 | 2 |
| 桂林 | 1/4 | 1/2 | 1 |
注意：权重最终值一定要进行归一化处理。
苏杭 = 1 / (1 / 2 + 1 + 1/ 4)
北戴河 = 1/2 / ( 1 + 1 / 2 + 1 / 4)
桂林 = 1 / 4 / (1 +1 / 2 +1 / 4 )
形似的，对于存在着误差的判断矩阵，
进行相同处理，对于每一列的计算结果，其答案有可能均不相同，那么判断矩阵的计算结果即为n列结果的平均值。（算数平均法）
故按算术平均法计算权重步骤如下：
1，将判断矩阵进行归一化（每一个元素除以所在列的的和）
2，将归一化的各列相加（按行求和）
3，将相加后得到的向量中每一个指标除以总列数后，即可得到权重向量；
法二，特征值法求权重：（最常用）
一致矩阵有一个特征值n，其余特征值均为0,。另外，特征值为n时，对应的特征向量刚好为
又因为对于一致矩阵，1 / a1n = an1;，即特征向量即是一致矩阵的第一列。
若判断矩阵的一致性检验结果可以接受，那么就可以仿照一致矩阵的计算方法。
第一步：求出矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量。
第二步：对求出的特征向量进行归一化处理后即可得到权重
对于最终结果的处理：
推荐使用EXCEL表格快速计算表格结果。
要点：通过F4锁定单元格进行相同运算。
层次分析法：
一，画出层次分析图
分析系统中个元素之间的关系，建立系统的递阶层次结构
（注意：若使用了层次分析法，那么层次分析图要放在建模论文中）
二，构造判断矩阵：
三，由判断矩阵计算被比较元素的相对权重，并进行一致性判断（检验通过才能使用权重）：
三种方法：
1，算术平均法； 2，几何平均法； 3，特征值法；
推荐比赛时，三种方法都使用。
在结论时便可加上——“为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法计算权重。再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析。这样避免了采用单一方法产生的偏差，得到的结论更全面，更有效”
若一致性检验结果 > 0.1:尽量往一致性矩阵方向靠拢（各行各列均成倍数）
四，运用EXCEL 表格对计算数值，并将结果进行排序
层次分析法的局限性：
一，评价的决策层不能太多：
一是判断矩阵会与一致矩阵的差异很大；
二是平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15；
二，若决策层中指标的数值已知，那么我们若再使用自己填写的判断矩阵，则会加大误差，所以此情况不能使用层次分析法。
模型拓展：
（1）决策层可以有多层，如子决策层，子子决策层.......
（2）一个决策可以只对应部分的方案，只需要在判断矩阵中将相应的方案权重设为0即可