【数据结构】红黑树原理及实现

一. 红黑树的概念

二叉树的优化，每个节点有一个变量表示结点的颜色，可以是红色或黑色，通过对节点颜色的约束，可以确保没有路径比其他路径长出两倍，接近平衡。

1. 红黑树的规则

1. 每个节点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色
3. 不能有相连的红色节点，也就是说一个节点如果是红色，他的孩子一定是黑色
4. 对于任意一条从根节点到空的路径，黑色节点的数量都相同
   

思考

为什么红黑树的最长路径不超过最短路径的两倍？
每条路径都有相同数量的黑色节点，假设一条路上全是黑色，这是最短的路径长度为h，由于不能有相连的红色节点，最长的路径是一个红一个黑的路径排列，长度为2h，所以对任意一条路径长度x来说，h<=x<=2h

2. 红黑树的效率

假设节点数量为N，h为最短路径长度，2^h-1 <= N < 2^2*h-1, 分析可得h=logN,由此可见最快的查找为logN，最坏的情况下高度为2h，查找效率也还是2*logN，所以红黑树的查找效率为O(logN)

二.红黑树的实现

1. 红黑树的结构

用bool类型来定义树的颜色，
定义parent，left和right指针方便后续的调整

typedef bool RBTreeColor;
const  RBTreeColor RBTreeRed = true;
const  RBTreeColor RBTreeBlack = false;template <class K,class V>
struct RBTreeNode
{typedef RBTreeNode Node;pair<K, V> _kv;Node* _parent;Node* _left;Node* _right;RBTreeColor _color;RBTreeNode(const pair<K,V>& kv):_kv(kv),_parent(nullptr),_left(nullptr),_right(nullptr),_color(RBTreeRed){}
};
template <class K, class V>
class RBTree
{
public:typedef RBTreeNode Node;private:Node*  _root=nullptr;
};

2. 红黑树的插入

1. 先按照二叉树的规则进行插入
2. 如果是空树插入，则新插入的节点为黑色，成为树的根，否则新插入的节点为红色，这是为了维护每条路径上的黑色节点数量相同这个规则
3. 非空树插入后，新增节点为红色，如果父节点为黑色，不违反插入规则，插入结束
4. 非空树插入后，新增节点为红色，如果父节点也为红色，违反插入规则，需要进行平衡调整

3. 红黑树的平衡调整

走到了平衡这一步，一定是因为出现了相连的两个红色节点，新插入节点c(cur)为红色，插入节点的父节点p(parent)一定也为红色，父节点的父节点g(grandparent)一定是黑色，这三个节点的颜色都是固定的，关键看父节点兄弟节点u(uncle)的情况，根据u的情况,可以分出几种平衡调整规则

情况1：变色

u存在且为红，p和u变成黑色，g变成红色，把g当成新的c，继续向上更新
分析：以g为根的左右子树的黑色节点数是一定的，把g变成红色，p和u变成黑色，不会影响左右子树的黑色节点数，以g为根的树的黑色节点数的也没有改变，由于g的父节点也是红色，所以需要把g当成新的c节点继续向上更新

情况2：单旋+变色

u不存在或者存在且为黑
u不存在时，c一定是新增节点；u存在且为黑时，c一定不是新增节点，符合情况一
分析：这种情况必须使p的变成黑色，g变成红色，然后旋转，让p变成这棵树新的根，由于新的根是黑色，不管他的父节点是什么，都符合红黑树的规则，插入结束
关于旋转的具体分析参照AVL数章节

当p是g的左孩子，c是p的左孩子，以g为旋转点，进行右单旋，p变成新的根，

当p是g的右孩子，c是p的右孩子，以g为旋转点，进行左单旋，p变成新的根，

情况3：双旋+变色

u不存在或者存在且为黑
u不存在时，c一定是新增节点；u存在且为黑时，c一定不是新增节点，符合情况一
分析：和情况二类似，根据情况单旋变双旋

当p是g的左孩子，c是p的右孩子，先以p为旋转点，进行左单旋，然后以g为旋转点，进行右单旋，c变黑，g变红，c变成这棵树新的根

当p是g的右孩子，c是p的左孩子，先以p为旋转点，进行右单旋，然后以g为旋转点，进行左单旋，c变黑，g变红，c变成这棵树新的根

4. 红黑树插入及平衡调整代码实现

旋转代码参考AVL章节—>AVL原理及实现

};
template <class K, class V>
bool RBTree < K,V>::Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_color = RBTreeBlack;return true;}Node* parent = nullptr; Node* cur = _root;//二叉树规则插入while (cur){ if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur;   cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur;    cur = cur->_left; }else { return false; } }cur = new Node(kv);//判断新增节点使父节点左还是右if (parent->_kv.first < kv.first)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;cur->_parent = parent;while (parent && parent->_color == RBTreeRed){Node* grandfather = parent->_parent;//  g//p   u//p为g的左代码实现if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;//  u存在且为红,p和u变黑，g变红，改变cur和p的指向，继续向上变；if (uncle && uncle->_color == RBTreeRed){parent->_color = uncle->_color = RBTreeBlack;grandfather->_color = RBTreeRed;cur = grandfather;parent = grandfather->_parent;}// u不存在或存在且为黑else{//      g//    p    u//  c//单旋加变色，c为p的左,   p变成新的根，p变黑，g变红if (cur == parent->_left){RorateR(grandfather);parent->_color = RBTreeBlack;grandfather->_color = RBTreeRed;}//        g//    p         u//       c//双旋加变色，c为p的右，else{RorateLR(grandfather);cur->_color = RBTreeBlack;grandfather->_color = RBTreeRed;}}}else{ //这里是p为g的情}return true;}

5.红黑树的验证

这里需要回忆一下红黑树四条规则，只要满足了这四条规则，就符合红黑树的标准

1. 节点颜色用bool值标记，天然满足这个规则
2. 检查根节点是否是黑色即可
3. 一个节点可能不止一个孩子，但一个节点只能有一个父亲，所以遇到一个红色节点就查他的父亲是否是黑色，满足这点就满足了第三点
4. 可以先序计算任意一条路径黑色节点的数量 ，然后让每个路径的黑色节点数和他比较，如果全都相等就满足第四条规则

template <class K, class V>
bool RBTree < K, V>::check(Node* root, int count, const int blackNum)
{// 检查到空树就比较黑色节点数if (root == nullptr){if (count == blackNum)return true;elsereturn false;}//如果有连续的红色节点，返回false，// 这里的root不会是根节点，如果是根节点在IsBanlance函数就已经检测出并返回了，所以每一个红色节点的父节点都不会为空if (root->_color == RBTreeRed && root->_parent->_color == RBTreeRed)return false;//遇到黑色节点if (root->_color == RBTreeBlack)count++;return check(root->_left, count, blackNum) && check(root->_right, count, blackNum);
}
template <class K, class V>
bool RBTree < K, V>::IsBanlance(Node* root)
{if (root == nullptr)return true;if (root->_color == RBTreeRed)return false;Node* cur = root;int count = 0;while (cur){if (cur->_color == RBTreeBlack)count++;cur = cur->_left;}
}