(三) 傅里叶变换：把信号拆成音符的秘密

—— 从“杂乱电流”到“频谱瀑布流”的魔法分解

---

一、音乐家的启示：如何分离交响乐中的乐器？

想象一段交响乐录音中混杂着小提琴、鼓声和长笛。傅里叶变换就像一个超级耳朵，能将混合信号拆解为独立的频率成分——就像在乐谱上标出每个音符的音高和强度。

核心思想：任何信号都可以表示为不同频率正弦波的叠加。

---

二、数学显微镜：傅里叶变换公式

1. 离散傅里叶变换（DFT）

将离散信号 $x[n]$ 转换为频域表示 $X[k]$：

$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-j2\pi kn/N}(k=0,1,...,N-1)$$

• $N$：信号长度
• $X[k]$：第 $k$ 个频率分量的复数（包含幅度和相位）

2. 快速傅里叶变换（FFT）

（FFT算法的原理和实现较为复杂，本文暂不展开深入探讨。）

• FFT是DFT的高效实现（复杂度从 $O(N^2)$ 降到 $O(N\log N)$）。
• 为什么重要？：处理1秒音频（44,100点）时，FFT比DFT快约 4,400倍！

---

三、Python实验：用FFT分析鸟鸣声

场景：识别信号中的高频噪声

import numpy as np
from scipy.fft import fft
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成含噪声的信号
fs = 500  # 采样率500Hz
t = np.linspace(0, 1, fs)  # 1秒时长
f_clean = 50  # 纯净信号频率50Hz
x_clean = 0.8 * np.sin(2 * np.pi * f_clean * t)
x_noise = 0.2 * np.random.randn(len(t))  # 高斯白噪声
x = x_clean + x_noise  # 合成信号

# 执行FFT
X = fft(x)
freq = np.linspace(0, fs, len(X))  # 频率轴

# 绘制时域和频域图
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.figure(figsize=(12, 5))

# 时域信号
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t, x, label="含噪声信号")
plt.plot(t, x_clean, 'r--', alpha=0.5, label="纯净信号")
plt.xlabel("时间 (秒)")
plt.ylabel("振幅")
plt.title("时域信号")
plt.legend()

# 频域频谱
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(freq[:len(X)//2], np.abs(X[:len(X)//2]))  # 只显示正频率部分
plt.axvline(f_clean, color='r', linestyle='--', label="50Hz主成分")
plt.xlabel("频率 (Hz)")
plt.ylabel("能量")
plt.title("频域频谱")
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

运行结果：

• 左图：时域信号看似杂乱无章
• 右图：频域清晰显示50Hz主成分和宽带噪声

---

四、关键概念解析

1. 频谱泄露与加窗

• 问题：信号截断导致频谱能量“泄露”到相邻频段。
• 解决：使用汉宁窗（Hann Window）平滑信号边缘。

window = np.hanning(len(x))  # 汉宁窗
X_windowed = fft(x * window)  # 加窗后的FFT

2. 频率分辨率

• 公式：$\Delta f=\frac{f_s}{N}$
  • 若 $f_s=1000Hz$, $N=1000$，则 $\Delta f=1Hz$
• 矛盾：提高分辨率需要更长的信号时间（$T=N/f_s$）

---

五、现实世界的应用

1. 音频均衡器：调整不同频段的增益（如增强低音）
2. WiFi路由器的OFDM：将数据分配到多个子载波传输
3. 医学成像：MRI利用频率信息重建人体剖面
4. 量子计算：Shor算法用FFT加速质因数分解

---

六、常见误区

1. “傅里叶变换能分析瞬时频率？”
   • 不能！FFT假设信号在整个时间段内稳定（需用时频分析如小波变换）。
2. “所有信号都能用正弦波合成？”
   • 是的！但需要无限多个正弦波（傅里叶级数的收敛性）。

---

动手实验：
修改代码中的 f_clean 为80Hz，添加另一个频率成分（如120Hz），观察频谱如何变化。

上一篇 (二) 采样定理：为什么CD音质是44.1kHz？