位运算题目：连接连续二进制数字

题目

标题和出处

标题：连接连续二进制数字

出处：1680. 连接连续二进制数字

难度

5 级

题目描述

要求

给定一个整数 $\text{n}$，将 $\text{1}$ 到 $\text{n}$ 的二进制表示连接得到一个二进制数，返回连接得到的二进制数对应的十进制数对 ${\text{10}}^{\text{9}}+\text{7}$ 取余的结果。

示例

示例 1：

输入：$\text{n = 1}$
输出：$\text{1}$
解释：二进制的 $\text{"1"}$ 对应十进制的 $\text{1}$。

示例 2：

输入：$\text{n = 3}$
输出：$\text{27}$
解释：二进制下，$\text{1}$、$\text{2}$ 和 $\text{3}$ 分别对应 $\text{"1"}$、$\text{"10"}$ 和 $\text{"11"}$。
将它们依次连接，得到 $\text{"11011"}$，对应十进制的 $\text{27}$。

示例 3：

输入：$\text{n = 12}$
输出：$\text{505379714}$
解释：连接结果为 $\text{"1101110010111011110001001101010111100"}$，对应十进制的 $\text{118505380540}$。
对 ${\text{10}}^{\text{9}}+\text{7}$ 取余后，结果为 $\text{505379714}$。

数据范围

• $\text{1}\le \text{n}\le {\text{10}}^{\text{5}}$

解法

思路和算法

由于 $1$ 到 $n$ 的二进制表示的连接结果可能很长，因此需要在遍历连接结果的过程中计算结果。

初始时，连接结果是 $0$。当遍历到整数 $i$ 时，假设 $1$ 到 $i-1$ 的连接结果对应的整数是 $x$，整数 $i$ 的二进制表示有 $\text{bits}$ 位，则 $1$ 到 $i-1$ 的连接结果对应的整数是将 $x$ 左移 $\text{bits}$ 位之后加 $i$。因此，只要知道 $1$ 到 $n$ 的每个整数的二进制表示的位数，即可得到连接的结果对应的整数。

如果正整数 $x$ 是 $2$ 的整数次幂，则 $x$ 的二进制表示的位数比 $x-1$ 的二进制表示的位数多 $1$，这里规定 $0$ 的二进制表示的位数是 $0$。正整数 $x$ 是 $2$ 的整数次幂等价于 $x\&(x-1)=0$，因此可以在 $O(1)$ 的时间内判断一个整数是不是 $2$ 的整数次幂。

由此可以得到如下解法。

用 $\text{num}$ 表示连接结果，用 $\text{bits}$ 表示当前整数的二进制表示的位数，初始时 $\text{num}$ 和 $\text{bits}$ 都是 $0$。依次遍历从 $1$ 到 $n$ 的每个整数，对于整数 $i$，执行如下操作。

1. 判断 $i$ 是否是 $2$ 的整数次幂。如果 $i\&(i-1)=0$，则 $i$ 是 $2$ 的整数次幂，将 $\text{bits}$ 加 $1$，否则 $\text{bits}$ 不变。此时 $\text{bits}$ 是 $i$ 的二进制表示的位数。

2. 将 $\text{num}$ 的值更新为 $(\text{num}<<\text{bits})+i$，并将更新后的值对 $10^9+7$ 取余。

遍历结束之后，$\text{num}$ 即为 $1$ 到 $n$ 的二进制表示的连接结果对应的整数。

需要注意的是，由于 $n$ 的最大值是 $10^5$，因此 $\text{bits}$ 的最大值是 $17$，$\text{nums}<<\text{bits}$ 的结果可能超出 $32$ 位整数的范围。为了避免溢出，应将 $\text{num}$ 声明为 $\text{long}$ 型，返回结果时转成 $\text{int}$ 型。

代码

class Solution {
    public int concatenatedBinary(int n) {
        final int MODULO = 1000000007;
        long num = 0;
        int bits = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if ((i & (i - 1)) == 0) {
                bits++;
            }
            num = ((num << bits) + i) % MODULO;
        }
        return (int) num;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是给定的整数。需要遍历 $n$ 个整数，每个整数的操作时间都是 $O(1)$。

• 空间复杂度：$O(1)$。