考研数据结构之树与二叉树的应用：哈夫曼树、哈夫曼编码与并查集

考研数据结构之树与二叉树的应用：哈夫曼树、哈夫曼编码与并查集

树与二叉树不仅是数据结构的核心内容，其应用更是考研高频考点。本文聚焦哈夫曼树与哈夫曼编码（数据压缩）、并查集（动态连通性问题）两大应用，结合真题解析与代码实现，帮助考生深入掌握核心逻辑。

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一、哈夫曼树与哈夫曼编码

1. 哈夫曼树的定义与构造

（1）基本概念

• 带权路径长度（WPL）：树中所有叶子节点的权值乘以其到根节点的路径长度之和。
• 哈夫曼树（最优二叉树）：给定一组权值，构造的WPL最小的二叉树。
  特点：
  • 权值越大的节点离根节点越近。
  • 哈夫曼树不唯一，但WPL相同。

（2）构造算法

通过贪心策略逐步合并最小权值节点：

1. 初始化：将每个权值视为独立节点，构成森林。
2. 重复以下步骤直至只剩一棵树：
   • 从森林中选出两个权值最小的节点作为左右子树。
   • 创建新节点作为它们的父节点，权值为两子节点之和。
   • 将新节点加入森林。

示例：
权值集合{5, 3, 8, 2}的构造过程：

Step 1: 选2和3 → 合并为5  
Step 2: 选5和5 → 合并为10  
Step 3: 合并10和8 → 最终WPL = 2*3 + 3*3 + 5*2 + 8*1 = 39

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2. 哈夫曼编码

（1）编码规则

• 前缀编码：任一字符的编码都不是其他字符编码的前缀。
• 构造方法：
  • 左分支标记为0，右分支标记为1。
  • 从根到叶子节点的路径即为该字符的编码。

示例：
对字符A(5), B(3), C(8), D(2)构造编码：

哈夫曼树结构：  18/    \8      10/  \5    5/ \2   3
编码结果：  
D: 00, B: 01, A: 10, C: 1

（2）应用：数据压缩

• 压缩原理：高频字符用短编码，低频字符用长编码，减少总存储空间。
• 实际案例：BMP图片压缩中，统计各字节频率后构造哈夫曼编码，实现无损压缩。

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3. 代码实现（C语言）

// 哈夫曼树节点定义
typedef struct HuffmanNode {int weight;struct HuffmanNode *lchild, *rchild;
} HuffmanNode;// 构造哈夫曼树
HuffmanNode* BuildHuffman(int weights[], int n) {// 使用优先队列（最小堆）实现// 伪代码：循环取最小两个节点合并，直至剩一个节点
}

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二、并查集（Union-Find）

1. 数据结构与操作

（1）核心思想

• 父节点数组：用数组记录每个节点的父节点，根节点的父节点为自身。
• 路径压缩：查找时将路径上的节点直接指向根节点，优化后续操作。

（2）基本操作

• Find：查找节点的根（递归或迭代实现）。
• Union：合并两个集合（按秩合并或简单合并）。

代码示例：

int parent[MAX]; // 父节点数组int Find(int x) {if (parent[x] != x) parent[x] = Find(parent[x]); // 路径压缩return parent[x];
}void Union(int x, int y) {int rootX = Find(x), rootY = Find(y);if (rootX != rootY) parent[rootY] = rootX; // 简单合并
}

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2. 应用场景

• 动态连通性问题：如判断图中是否存在环（Kruskal算法）。
• 社交网络：快速判断两人是否属于同一群体。

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三、真题解析

1. 哈夫曼编码计算

题目（2023年真题，）：

给定字符集{A, B, C, D}的频率为{5, 15, 45, 35}，构造哈夫曼编码，并计算WPL。

解析：

1. 构造哈夫曼树：
   • 合并5和15 → 20
   • 合并20和35 → 55
   • 合并55和45 → 100
2. 编码结果：
   • A: 000, B: 001, C: 1, D: 01
3. WPL：5*3 + 15*3 + 45*1 + 35*2 = 205。

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2. 并查集时间复杂度

题目（经典真题，）：

若并查集采用路径压缩和按秩合并优化，其Find和Union操作的时间复杂度是多少？

答案：
均摊时间复杂度为O(α(n))，其中α(n)是阿克曼函数的反函数，可视为常数。

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四、总结

• 哈夫曼树是贪心算法的典型应用，需掌握构造步骤与WPL计算。
• 并查集通过路径压缩和按秩合并实现高效动态连通性判断。
• 两者在数据压缩（哈夫曼编码）和图算法（Kruskal）中均有重要实践价值。