2024年国考
数学
一，逻辑符号表示（3 分）
1，只有获得奥运会资格的运动员才可以参加奥运会，参加奥运会的云动员不一定获奖。
- 设：
- ( Q(x) )：运动员 ( x ) 获得奥运会资格
- ( P(x) )：运动员 ( x ) 参加奥运会
- ( A(x) )：运动员 ( x ) 获奖
命题符号化：
- “只有获得奥运会资格的运动员才可以参加奥运会”
∀ x ( P ( x ) → Q ( x ) ) \forall x \big( P(x) \to Q(x) \big) ∀x(P(x)→Q(x))
（所有参加奥运会的运动员 ( x ) 必须获得资格）
- “参加奥运会的运动员不一定获奖”
∃ x ( P ( x ) ∧ ¬ A ( x ) ) \exists x \big( P(x) \land \neg A(x) \big) ∃x(P(x)∧¬A(x))
（存在至少一个参加奥运会的运动员 ( x ) 未获奖）
∀ x ( P ( x ) → Q ( x ) ) ∧ ∃ y ( P ( y ) ∧ ¬ A ( y ) ) \forall x \big( P(x) \to Q(x) \big) \land \exists y \big( P(y) \land \neg A(y) \big) ∀x(P(x)→Q(x))∧∃y(P(y)∧¬A(y))
二，选择题（10 分）
1，论域为 D , ∃ x ( P ( x ) ) = F A L S E \mathrm{D}, \exists \mathrm{x}(\mathrm{P}(\mathrm{x}))= FALSE D,∃x(P(x))=FALSE，则（B）
A: D 的任意一个都为 FALSE
B: D 中只要一个为 FALSE
2，关系闭包的延展， r®, ~ s®, ~ t® 分别表示自反，对称，传递闭包， s r ( R ) , t s r ( R ) \mathrm{sr}(\mathrm{R}), \mathrm{tsr}(\mathrm{R}) sr(R),tsr(R) ，
3，Ramsey 树
4，完全错排， 5 个同学去选书，每个都有一本不喜欢的书，问正好选不到自已的不喜欢的书的可能性（）
A：
B：
C： 5!(1-1 / 1!+1 / 2!-1 / 3!+1 / 4!-1 / 5!)
D：
5，牛顿二项式 1 / ( 1 + 2 x ) n ，求 x r 1 /(1+2 \mathrm{x})^{\mathrm{n}} ，求 \mathrm{x}^{\mathrm{r}} 1/(1+2x)n，求xr 系数
A：
B：
C： C ( n + r − 1 , r ) ( − 2 ) r \mathrm{C}(\mathrm{n}+\mathrm{r}-1, \mathrm{r})(-2)^{\mathrm{r}} C(n+r−1,r)(−2)r
D：
三，填空题（10 分，第一条每空 1 分， 2 题 2 分）
1．集合 A = { 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 , 16 , 18 } A=\{3,4,6,8,9,12,16,18\} A={3,4,6,8,9,12,16,18} ，偏序关系 R 为 A 上的整除关系，则 ⟨ A , R > \langle A, R> ⟨A,R> 最长链长度 \qquad ，最长链个数 \qquad ，最长反链长度 \qquad ，最长反链个数 \qquad ，极大元个数 \qquad ，极小元个数 \qquad ，最小元为 \qquad ，最大元为 \qquad 。
集合 A = {3,4,6,8,9,12,16,18}，偏序关系 R 为整除关系。
-
最长链长度
最长链为全序子集，元素间可逐层整除。例如：- 3 → 6 → 12（长度3）
- 3 → 6 → 18（长度3）
- 3 → 9 → 18（长度3）
- 4 → 8 → 16（长度3）
答案：3
-
最长链个数
上述四条链均为最长链。
答案：4 -
最长反链长度
反链是元素间均不可比较的最大子集。例如：- {3,4,8}（长度3）
- {4,6,9}（长度3）
- {6,8,9}（长度3）
- {6,9,16}（长度3）
答案：3
-
最长反链个数
上述四组反链均为最长反链。
答案：4 -
极大元个数
极大元是未被其他元素整除的元素：12, 16, 18。
答案：3 -
极小元个数
极小元是无法被其他元素整除的元素：3, 4。
答案：2 -
最小元与最大元
无元素能整除或被所有元素整除，故无最小元和最大元。
答案：无
最终答案：
- 最长链长度：3，最长链个数：4，最长反链长度：3，最长反链个数：4，极大元个数：3，极小元个数：2，最小元：无，最大元：无。
2． x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 7 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=7 x1+x2+x3+x4+x5+x6=7 的非负整数的拆分数是 \qquad 。
这个问题可以通过组合数学中的“隔板法”（也称为“星与条法”）来解决。隔板法用于解决将不可区分的对象分配到可区分的组中的问题。
具体来说，问题是要找到方程 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 7 x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 7 x1+x2+x3+x4+x5+x6=7 的非负整数解的个数。这里， x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 x1,x2,x3,x4,x5,x6 是非负整数，表示将7个相同的对象（比如球）分配到6个不同的盒子（变量）中的方法数。
根据隔板法，将 n n n 个相同的对象分配到 k k k 个不同的组中的方法数为 ( n + k − 1 k − 1 ) \binom{n+k-1}{k-1} (k−1n+k−1)。在这个问题中， n = 7 n = 7 n=7（7个球）， k = 6 k = 6 k=6（6个盒子），所以我们要计算的是 ( 7 + 6 − 1 6 − 1 ) = ( 12 5 ) \binom{7+6-1}{6-1} = \binom{12}{5} (6−17+6−1)=(512)。
计算 ( 12 5 ) \binom{12}{5} (512)：
( 12 5 ) = 12 ! 5 ! ( 12 − 5 ) ! = 12 ! 5 ! 7 ! = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 792 \binom{12}{5} = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792 (512)=5!(12−5)!12!=5!7!12!=5×4×3×2×112×11×10×9×8=792
因此，方程 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 7 x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 7 x1+x2+x3+x4+x5+x6=7 的非负整数解的个数是 792。
四，计算题（10 分）
1，已知六个字母 a, b, c, d, e, f ，
a．求必须出现 a b c 的排列数
b．求必须出现 ef 的排列数
c．求不能出现 abc 和 ef 的排列数
答案：
a. 必须出现 abc 的排列数
将 “abc” 视为一个整体，与剩余字母 d, e, f 共同组成 4 个“块”。这 4 个块的排列数为：
4 ! = 24 4! = 24 4!=24
答案：24
b. 必须出现 ef 的排列数
将 “ef” 视为一个整体，与剩余字母 a, b, c, d 共同组成 5 个“块”。这 5 个块的排列数为：
5 ! = 120 5! = 120 5!=120
答案：120
c. 不能出现 abc 和 ef 的排列数
- 总排列数：6 个字母的全排列为 (6! = 720)。
- 出现 abc 的排列数：如问题 a，为 (4! = 24)。
- 出现 ef 的排列数：如问题 b，为 (5! = 120)。
- 同时出现 abc 和 ef 的排列数：将 “abc” 和 “ef” 视为两个块，加上剩余字母 d，共 3 个“块”，排列数为 (3! = 6)。
容斥原理计算：
无效排列数 = 24 + 120 − 6 = 138 \text{无效排列数} = 24 + 120 - 6 = 138 无效排列数=24+120−6=138
有效排列数 = 720 − 138 = 582 \text{有效排列数} = 720 - 138 = 582 有效排列数=720−138=582
答案：582
最终答案：
a. 24
b. 120
c. 582
2，已知 a 0 = 5 , a k = 2 a k − 1 − 7 \mathrm{a}_{0}=5, \mathrm{a}_{\mathrm{k}}=2 \mathrm{a}_{\mathrm{k}-1}-7 a0=5,ak=2ak−1−7 ，
a．求 a 4 \mathrm{a}_{4} a4
b．求 a n a_{n} an （值包含 n ）
a 0 = 5 , a 1 = 2 ⋅ 5 − 7 = 3 , a 2 = 2 ⋅ 3 − 7 = − 1 , a 3 = 2 ⋅ ( − 1 ) − 7 = − 9 , a 4 = 2 ⋅ ( − 9 ) − 7 = − 25. \begin{align*} a_0 &= 5, \\ a_1 &= 2 \cdot 5 - 7 = 3, \\ a_2 &= 2 \cdot 3 - 7 = -1, \\ a_3 &= 2 \cdot (-1) - 7 = -9, \\ a_4 &= 2 \cdot (-9) - 7 = -25. \end{align*} a0a1a2a3a4=5,=2⋅5−7=3,=2⋅3−7=−1,=2⋅(−1)−7=−9,=2⋅(−9)−7=−25.
答案：
a 4 = − 25 a_4 = \boxed{-25} a4=−25
b. 求通项 ( a_n ):
解法（使用齐次方程）：
-
对应的齐次方程：( a_k = 2a_{k-1} )，其通解为：
a k ( h ) = C ⋅ 2 k ( C 为常数 ) . a_k^{(h)} = C \cdot 2^k \quad (C \text{ 为常数}). ak(h)=C⋅2k(C 为常数). -
非齐次方程的特解：假设特解为常数 ( a_k^{§} = A )，代入原方程：
A = 2 A − 7 ⟹ A = 7. A = 2A - 7 \implies A = 7. A=2A−7⟹A=7. -
通解：齐次解 + 特解，即：
a k = C ⋅ 2 k + 7. a_k = C \cdot 2^k + 7. ak=C⋅2k+7. -
利用初始条件 ( a_0 = 5 ) 确定常数 ( C ):
5 = C ⋅ 2 0 + 7 ⟹ C = − 2. 5 = C \cdot 2^0 + 7 \implies C = -2. 5=C⋅20+7⟹C=−2.
最终通项公式为：
a n = 7 − 2 n + 1 . a_n = 7 - 2^{n+1}. an=7−2n+1.
答案：
a n = 7 − 2 n + 1 a_n = \boxed{7 - 2^{n+1}} an=7−2n+1
五，证明题（7 分，第一题 4 分，第二题 3 分）
1，证明 A \oplus B x C=(A x C) \oplus(B x C)
证明：
要证明集合运算 ( (A \oplus B) \times C = (A \times C) \oplus (B \times C) )，需验证两集合互相包含。
定义回顾
- 对称差（(\oplus)）：
A ⊕ B = ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) A \oplus B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) A⊕B=(A∖B)∪(B∖A) - 笛卡尔积（(\times)）：
A × C = { ( a , c ) ∣ a ∈ A , c ∈ C } A \times C = \{(a, c) \mid a \in A, c \in C\} A×C={(a,c)∣a∈A,c∈C}
步骤1：证明 ( A ⊕ B ) × C ⊆ ( A × C ) ⊕ ( B × C ) (A \oplus B) \times C \subseteq (A \times C) \oplus (B \times C) (A⊕B)×C⊆(A×C)⊕(B×C)
任取 ( x , c ) ∈ ( A ⊕ B ) × C (x, c) \in (A \oplus B) \times C (x,c)∈(A⊕B)×C，则：
- x ∈ A ⊕ B x \in A \oplus B x∈A⊕B，即 x ∈ A ∖ B x \in A \setminus B x∈A∖B 或 x ∈ B ∖ A x \in B \setminus A x∈B∖A，
- c ∈ C c \in C c∈C。
情况1：若 x ∈ A ∖ B x \in A \setminus B x∈A∖B，则：
- ( x , c ) ∈ A × C (x, c) \in A \times C (x,c)∈A×C,
- 但 KaTeX parse error: Can't use function '\)' in math mode at position 11: x \notin B\̲)̲，故 \((x, c) \no…。
因此， ( x , c ) ∈ ( A × C ) ∖ ( B × C ) (x, c) \in (A \times C) \setminus (B \times C) (x,c)∈(A×C)∖(B×C)，即属于右侧的对称差。
情况2：若 x ∈ B ∖ A x \in B \setminus A x∈B∖A，则：
- ( x , c ) ∈ B × C (x, c) \in B \times C (x,c)∈B×C,
- 但 x ∉ A x \notin A x∈/A，故 ( x , c ) ∉ A × C (x, c) \notin A \times C (x,c)∈/A×C。
因此， ( x , c ) ∈ ( B × C ) ∖ ( A × C ) (x, c) \in (B \times C) \setminus (A \times C) (x,c)∈(B×C)∖(A×C)，即同样属于右侧的对称差。
综上， ( A ⊕ B ) × C ⊆ ( A × C ) ⊕ ( B × C ) (A \oplus B) \times C \subseteq (A \times C) \oplus (B \times C) (A⊕B)×C⊆(A×C)⊕(B×C)。
步骤2：证明 ( A × C ) ⊕ ( B × C ) ⊆ ( A ⊕ B ) × C (A \times C) \oplus (B \times C) \subseteq (A \oplus B) \times C (A×C)⊕(B×C)⊆(A⊕B)×C
任取 ( y , d ) ∈ ( A × C ) ⊕ ( B × C ) (y, d) \in (A \times C) \oplus (B \times C) (y,d)∈(A×C)⊕(B×C)，则：
- ( y , d ) (y, d) (y,d)属于 A × C ∖ B × C A \times C \setminus B \times C A×C∖B×C 或 B × C ∖ A × C B \times C \setminus A \times C B×C∖A×C。
情况1：若 ( y , d ) ∈ A × C ∖ B × C (y, d) \in A \times C \setminus B \times C (y,d)∈A×C∖B×C，则：
- y ∈ A y \in A y∈A 且 d ∈ C d \in C d∈C,
- 但 y ∉ B y \notin B y∈/B 或 d ∉ C d \notin C d∈/C。
由于 (d \in C)（由 ((y, d) \in A \times C)），故 (y \notin B)，即 (y \in A \setminus B)。
因此 (y \in A \oplus B)，且 (d \in C)，所以 ((y, d) \in (A \oplus B) \times C)。
情况2：若 ((y, d) \in B \times C \setminus A \times C)，则：
- (y \in B) 且 (d \in C),
- 但 (y \notin A) 或 (d \notin C)。
同理，(d \in C)，故 (y \notin A)，即 (y \in B \setminus A)。
因此 (y \in A \oplus B)，且 (d \in C)，所以 ((y, d) \in (A \oplus B) \times C)。
综上， ( A × C ) ⊕ ( B × C ) ⊆ ( A ⊕ B ) × C (A \times C) \oplus (B \times C) \subseteq (A \oplus B) \times C (A×C)⊕(B×C)⊆(A⊕B)×C。
结论
由于双向包含关系成立，原等式得证：
A ⊕ B × C = ( A × C ) ⊕ ( B × C ) \boxed{A \oplus B \times C = (A \times C) \oplus (B \times C)} A⊕B×C=(A×C)⊕(B×C)
2，图 G 有 n 分顶点， m 条边， f 分面，不包含三角形，证明 \mathrm{f}<\mathrm{m} / 2 ．