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【数论】3260. 找出最大的 N 位 K 回文数|2370

news 来源：原创 2025/4/20 14:14:48

本文涉及知识点

C++动态规划
数论：质数、最大公约数、菲蜀定理

LeetCode3260. 找出最大的 N 位 K 回文数

给你两个正整数 n 和 k。
如果整数 x 满足以下全部条件，则该整数是一个 k 回文数：
x 是一个回文数。x 可以被 k 整除。以字符串形式返回最大的 n 位 k 回文数。
注意，该整数不含前导零。
示例 1：
输入： n = 3, k = 5
输出： “595”
解释：
595 是最大的 3 位 k 回文数。
示例 2：
输入： n = 1, k = 4
输出： “8”
解释：
1 位 k 回文数只有 4 和 8。
示例 3：
输入： n = 5, k = 6
输出： “89898”
提示：
1 <= n <= 10⁵
1 <= k <= 9

数论

v1[i]记录 10ⁱ%k,x=其和乘以9%k就是最大n位数%k，最大的n位数是各位都是9。如果x等于0，最大的9位数就是本题答案。
v1[0]=1%k，v1[i] = (v1[i-1]*10)%k。
x $\in$ [0,k] ,而k<=9。
错误性质一：如果n是奇数，将最中间的9减少x，就是回文，且被k整除。错误原因：中间的减少x，结果不一定减少x，而是x $\times$ v[n/2]。
n2=(n+1)/2。由于左右部分完全对称，故我们只需要枚举左半部分减少了i。但这个时间复杂度：O（10ⁿ²），超时。

动态规划

我们令整个字符串为ans，左半部分为s。

动态规划的状态表示

dp[i][j] 记录s长度为i的后缀，除最左的位外可以减少任意次，最左的位最少减少多少次使得str总共减少%k == j。空间复杂度：O(nk)

动态规划的填表顺序

枚举前置状态和当前状态。i = 0 to i<n2

动态规划的填报顺序

如果dp[i][j]是10，忽略。

int t = v1[i1];if (i1 != i2) { t += v1[i2]; }				t = (t*m + j) % k;

i 是s 从右向左的下标，从0开始。其在左半部分对应ans[j1]，右半部分对应ans[j2]。
MinSelf(dp[i+1][t] , m) 更新dp1的时候，同时更新dp2 dp2[i+1][t] = j

动态规划的初始值

dp[0][0]=0，其它全为10。

动态规划的返回值

dp[i+1][x] < 10结束 fun(i+1,x)
fun(p,x)
q =p to 1
m = dp[q][x]
s 倒数第q-1位减少m，str右半部分也要做响应减少。
x = dp2[q][x]

代码

class Solution {public:string largestPalindrome(int n, int k) {vector<int> v1(n,1%k);for (int i = 1; i < n; i++) {v1[i] = v1[i - 1] * 10 % k;}const int x = accumulate(v1.begin(), v1.end(), 0)*9 % k;if (0 == x) {  return string(n,'9'); }const int n2 = (n+1) / 2;			vector<vector<int>> dp(n2 + 1, vector<int>(k, 10));auto dp2 = dp;dp[0][0] = 0;int i1 = n2-1;int i2 = n/2;for (int i = 0; i < n2;i++,i1--,i2++) {for (int j = 0; j < k; j++) {if (10 == dp[i][j]) { continue; }for (int m = 0; m < k; m++) {int t = v1[i1];if (i1 != i2) { t += v1[i2]; }				t = (t*m + j) % k;if (m < dp[i + 1][t]){dp[i + 1][t] = m;dp2[i + 1][t] = j;}		}}if (dp[i + 1][x] < 10) {string ans(n2, '9');auto DoS = [&](int p, int x) {							for (; p > 0; p--) {int m = dp[p][x];			ans[n2- 1 - (p-1)] -= m;x = dp2[p][x];}};						DoS(i + 1, x);string right(ans.begin(), ans.begin() + (n - n2));ans += string(right.rbegin(), right.rend());return ans;}}return "";}};

核心代码

	int n, k;TEST_METHOD(TestMethod11){n = 3, k = 5;auto res = Solution().largestPalindrome(n, k);AssertEx(string("595"), res);}TEST_METHOD(TestMethod12){n = 1, k = 4;auto res = Solution().largestPalindrome(n, k);AssertEx(string("8"), res);}TEST_METHOD(TestMethod13){n = 5, k = 6;auto res = Solution().largestPalindrome(n, k);AssertEx(string("89898"), res);}

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