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Dijkstra 算法入门笔记 (适用于算法竞赛初学者) - C++ 代码版

news 来源：原创 2025/4/21 7:48:41

算法是做什么的？
核心思想：贪就完事了！
算法前提：不能有负权边！
需要哪些工具？(数据结构)
算法具体步骤
关键操作：松弛 (Relaxation)
两种实现方式 (C++ 代码)
- 朴素版 Dijkstra (O(V^2))
- 堆优化版 Dijkstra (O(E log V))【竞赛常用】
复杂度分析
注意事项与常见问题
练习建议
总结

1. 算法是做什么的？

Dijkstra (迪杰斯特拉) 算法主要用于解决 单源最短路径 问题。

单源 (Single Source): 指的是从图中的一个指定的起始点（源点）出发。
最短路径 (Shortest Path): 找到从这个源点到图中所有其他可达点的路径中，权重（或距离、成本）之和最小的那条路径。
图 (Graph): 算法作用于带权重的有向图或无向图。

简单说： 给你一张地图（图），上面有各个地点（顶点）以及地点之间的道路长度（边的权重），Dijkstra 算法能帮你快速找到从你的出发点到其他所有地方的最短路线。

2. 核心思想：贪就完事了！

Dijkstra 算法的核心思想是 贪心策略。

初始化： 选定一个源点 s。我们用一个数组 dist[v] 记录源点 s 到顶点 v 的 当前已知最短距离。一开始，dist[s] = 0，其他所有 dist[v] = ∞ (表示暂时不可达)。
迭代： 每次从 还没有确定最终最短路径 的顶点中，选择一个 dist 值最小的顶点 u。
确定与扩展： 这个 u 的 dist[u] 值就是源点 s 到 u 的 最终最短距离 (因为没有负权边，后面不可能有更短的路绕回来了)。然后，我们利用 u 来更新 (或者叫松弛) 与它相邻的顶点的 dist 值。如果通过 u 到达其邻居 v 的路径 (dist[u] + weight(u, v)) 比当前已知的 dist[v] 更短，就更新 dist[v]。
重复： 重复步骤 2 和 3，直到所有顶点都被选中（或者所有可达顶点都被选中）。

形象比喻： 想象源点像一个火源开始燃烧，火势（最短路径）总是先蔓延到最近的地方，然后从这些已燃烧的地方继续向外蔓延。

3. 算法前提：不能有负权边！

极其重要： Dijkstra 算法不能正确处理带有 负权重边 的图。

原因： 算法的贪心策略基于一个假设：一旦一个顶点的最短路径被确定，它就是最终的了。但如果存在负权边，后面可能通过一个负权边“绕回来”，使得已确定“最短路径”的点有了更短的路径，这就破坏了贪心选择的基础。
如果遇到负权边怎么办？ 需要使用其他算法，例如 Bellman-Ford 算法或 SPFA 算法 (SPFA 在某些情况下可能被特殊数据卡住，Bellman-Ford 更稳健但效率较低)。

4. 需要哪些工具？(数据结构)

实现 Dijkstra 算法通常需要以下数据结构：

图的表示：
- 邻接矩阵 (Adjacency Matrix): g[i][j] 存储从顶点 i 到顶点 j 的边的权重。简单直观，但对于稀疏图（边数远小于点数的平方）空间浪费大。
- 邻接表 (Adjacency List): vector<pair<int, int>> adj[N] 或类似的结构，adj[u] 存储从 u 出发的所有边，每条边表示为 {v, weight} (到达顶点 v，权重为 weight)。竞赛中最常用，节省空间。
距离数组 dist[N]: dist[i] 存储源点到顶点 i 的当前最短距离。初始化为无穷大（一个足够大的数，如 0x3f3f3f3f 在 C++ 中常用，防止加法溢出），源点 dist[source] = 0。 注意使用 long long 防止溢出！
标记数组 visited[N] 或 st[N] (状态 state): visited[i] 标记顶点 i 是否已经找到了最终的最短路径（即是否已经被选为上文步骤 2 中的 u）。初始化为 false。 (朴素版必需，堆优化版可选)
(堆优化版需要) 优先队列 (Priority Queue): 用于快速找到 dist 值最小的未访问顶点。通常存储自定义结构体 State{node, dist} 或 pair<long long, int>，表示 {distance, vertex}。注意 C++ std::priority_queue 默认是大顶堆，我们需要小顶堆（存储负距离或者自定义比较器，或使用 std::greater）。

5. 算法具体步骤

以源点 s 为例：

初始化:
- dist 数组所有元素设为无穷大 (LINF)。
- dist[s] = 0。
- visited 数组所有元素设为 false (如果使用)。
- (堆优化版) 将 {s, 0} (节点, 距离) 压入优先队列 pq。
循环 (朴素版 V 次，堆优化版直到队列为空):
- a. 找到下一个顶点 u:
  - 朴素版: 在所有 visited[i] == false 的顶点 i 中，找到 dist[i] 最小的那个顶点 u。
  - 堆优化版: 从优先队列 pq 中取出堆顶元素 {u, d} (当前距离 d 最小的顶点 u)。检查 d > dist[u]，如果是，则跳过 (旧状态)。
- b. 标记 (可选): 将 visited[u] 设为 true (朴素版必需)。
- c. 松弛 u 的邻居: 遍历所有从 u 出发的边 (u, v)，其权重为 w：
  - 如果 dist[u] + w < dist[v]，那么：
    - 更新 dist[v] = dist[u] + w。
    - (堆优化版) 将新的、更短的距离信息 {v, dist[v]} 压入优先队列 pq。
结束: 循环结束后，dist 数组中就存储了源点 s 到所有可达顶点的最短距离。如果某个 dist[i] 仍然是 LINF，表示从 s 无法到达 i。

6. 关键操作：松弛 (Relaxation)

松弛是 Dijkstra 算法的核心步骤之一。它的意思是：对于边 (u, v)，我们检查是否可以通过顶点 u 来改善 (缩短) 到达顶点 v 的路径。

// 假设 u 已经被确定了最短路径 dist[u] (或至少是当前最优)
// v 是 u 的一个邻居，边的权重是 weight
// dist 是存储最短距离估计值的数组 (类型通常为 long long)
// LINF 是表示无穷大的常量if (dist[u] != LINF && dist[u] + weight < dist[v]) {dist[v] = dist[u] + weight; // 更新 v 的最短距离估计值// 如果是堆优化版本，还需要将更新后的状态放入优先队列// pq.push({v, dist[v]}); // (伪代码，具体看下方实现)
}

7. 两种实现方式 (C++ 代码)

(假设已包含头文件 <vector>, <queue>, <cstring>, <functional>, 并定义了 LINF, MAXN 以及 Edge 结构体，并且 adj, dist, visited, V 是可访问的全局变量或通过参数传递)

// --- 需要的前置定义 (示例) ---
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <functional> // for std::greaterconst long long LINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
const int MAXN = 100005;struct Edge {int to;int weight;
};struct State {int node;long long dist;bool operator>(const State& other) const {return dist > other.dist;}
};extern std::vector<Edge> adj[MAXN]; // 邻接表 (需在外部定义和填充)
extern long long dist[MAXN];        // 距离数组 (需在外部定义)
extern bool visited[MAXN];        // 访问标记 (需在外部定义)
extern int V;                     // 顶点数 (需在外部定义)
// --- 前置定义结束 ---

朴素版 Dijkstra (O(V^2))

// --- 朴素版 Dijkstra 函数 ---
void dijkstra_simple(int start_node) {// 1. 初始化for (int i = 1; i <= V; ++i) { // 假设顶点从 1 到 Vdist[i] = LINF;visited[i] = false;}dist[start_node] = 0;// 2. 循环 V 次for (int i = 0; i < V; ++i) {int u = -1;long long min_dist = LINF;// a. 找到 dist 最小的未访问顶点 ufor (int j = 1; j <= V; ++j) {if (!visited[j] && dist[j] < min_dist) {min_dist = dist[j];u = j;}}// 如果找不到或剩下的点不可达if (u == -1) {break;}// b. 标记 u 为已访问visited[u] = true;// c. 松弛 u 的邻居for (const auto& edge : adj[u]) {int v = edge.to;int weight = edge.weight;// 确保 dist[u] 不是 LINF 且 v 未访问if (dist[u] != LINF && !visited[v] && dist[u] + weight < dist[v]) {dist[v] = dist[u] + weight;}}}
}

堆优化版 Dijkstra (O(E log V))【竞赛常用】

// --- 堆优化版 Dijkstra 函数 ---
void dijkstra_heap(int start_node) {// 1. 初始化for (int i = 1; i <= V; ++i) { // 假设顶点从 1 到 Vdist[i] = LINF;// visited 在堆优化版中通常不是必需的，但有时可用于小幅优化// visited[i] = false;}dist[start_node] = 0;// 优先队列，存储 {节点, 距离}，按距离从小到大排序 (小顶堆)std::priority_queue<State, std::vector<State>, std::greater<State>> pq;pq.push({start_node, 0});// 2. 主循环while (!pq.empty()) {// a. 取出当前距离最小的状态State current = pq.top();pq.pop();int u = current.node;long long current_dist = current.dist;// **核心优化**: 如果取出的距离比记录的还大，说明是旧状态，跳过if (current_dist > dist[u]) {continue;}// 如果使用 visited 数组优化:// if (visited[u]) continue;// visited[u] = true;// b. 松弛 u 的邻居for (const auto& edge : adj[u]) {int v = edge.to;int weight = edge.weight;// 确保 dist[u] 不是 LINFif (dist[u] != LINF && dist[u] + weight < dist[v]) {dist[v] = dist[u] + weight;// 将更新后的、更短的距离信息加入优先队列pq.push({v, dist[v]});}}}
}