信息学奥赛一本通 1504：【例 1】Word Rings | 洛谷 SP2885 WORDRING - Word Rings

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ybt 1504：【例 1】Word Rings
洛谷 SP2885 WORDRING - Word Rings

【题目考点】

1. 图论：SPFA_DFS 判断负环

SPFA_DFS算法
Bellman-Ford算法栈优化，也称SPFA_DFS算法。
主要用于寻找图中是否存在负环或正环。
以判断负环为例：

1. 将dis数组每个元素初值设为0
2. 尝试从每个顶点出发调用SPFA_DFS算法。如果访问到还在搜索过程中（在栈内）的顶点，则找到负环。
   每次调用可以判断出该顶点所在的环是否是负权环。

2. 二分答案

【解题思路】

作为字符串前后端的两个字符是顶点（例单词ababc，开端ab是一个顶点，末端bc是一个顶点），每个单词是一条连接前后端两个顶点的有向边，边的权值为单词的长度（字符数）。
每读入一个单词，取出该单词的前两个字符构成的字符串，单词后两个字符构成的字符串，称为端点字符串。将端点字符串映射到表示顶点编号的整数。
设map，键位端点字符串，值为该字符串对应的顶点编号。设总顶点数量n初值为0。
每取到一个不存在的新的端点字符串，就将n增加1后n的值作为该字符串对应的顶点编号。

将端点字符串映射到整数的过程也可以设哈希函数完成。
设端点字符串的第一个字符为变量x，第二个字符为变量y，由于所有的字符都是小写的，那么将这两个字符看做一个26进制数字，哈希值为该数字的数值。哈希函数为(x-'a')*26+y-'a'，这样就可以根据两个字符得到从0开始的顶点编号。

根据输入的字符串建图。
该题求图中平均路径长度最大的环。平均路径长度是环上路径总长度除以环上边数的商。
给定一个图，一定存在平均路径长度最大的环，设该环的平均路径长度为ave。
设该环上的边的长度（权值）分别为$w_1,w_2,...,w_m$
则$({\sum }_{i=1}^m{w}_i)/m=ave$
${\sum }_{i=1}^m{w}_i=ave\cdot m$
$w_1-ave+w_2-ave+...+w_m-ave=0$
即${\sum }_{i=1}^m(w_i-ave)=0$
给定平均路径长度$x$，显然：
如果$x<ave$，则${\sum }_{i=1}^m(w_i-x)>0$。
如果$x\ge ave$，则${\sum }_{i=1}^m(w_i-x)\le 0$。
如果将图中每条边的权值都减去x，而后只要图中存在正权环，那么一定存在一个环满足${\sum }_{i=1}^m(w_i-x)>0$。由于ave是最大的平均长度最大的环的平均长度，因此当$x\ge ave$时，将图中每条边的权值减少x后，一定就不存在正权环了。
将$x<ave$认为是满足条件，$x\ge ave$认为是不满足条件，只需要求$x$满足条件的最大值。由于平均值x是实数，$x<ave$前提下x的最大值会无限接近ave，可以认为x满足条件的最大值等于ave。
可以通过二分答案方法解决该问题：

• 答案变量：环的平均路径长度x。
• 最值：最大值
• 满足条件：将图中每条边的权值都减去x后，图中存在正权环。

注意：此处不能求平均路径长度x满足图中存在负权环情况下$x$的最小值。
因为ave是平均路径长度最大的环的平均路径长度，$x$取某个值后，图中每条边的边权都减少x，即便图中存在负权环，可能是平均路径长度较小的一个环变成了负权环，而平均路径长度最大的环的边权加和还满足${\sum }_{i=1}^m(w_i-x)>0$，并非满足$x>ave$。

先判断，当环的平均路径长度x为0时，原图每条边的权值不变，判断是否存在正权环。如果不存在，则输出 No solution。
而后在实数域进行二分答案：
答案变量环的平均路径长度$x$：最小为$0$，最大为总边权最大值$1000\ast 10^5=10^8$。找满足条件的最大值。使用SPFA_DFS算法判断图中是否存在正权环。

【注意】该题有多组数据，注意要清空变量。

【题解代码】

解法1：二分答案，SPFA_DFS判断正环

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100005
struct Edge
{int v;double w;
};
int sn, n;
vector<Edge> edge[N];
map<string, int> num;//将长为2的字符串转为数字编号
bool inStk[N];
double dis[N];
bool spfa_dfs(int u, double ave)//每条边权值减去ave，判断是否存在正环 
{inStk[u] = true;for(Edge e : edge[u]){int v = e.v;double w = e.w-ave; if(dis[v] <= dis[u]+w)//等于时也松弛，可以找到0权环{dis[v] = dis[u]+w;if(inStk[v] || spfa_dfs(v, ave))return true;}}inStk[u] = false;return false;
}
bool check(double ave)//在每条边边权都减去ave后，是否存在正权环 
{memset(dis, 0, sizeof(dis));memset(inStk, 0, sizeof(inStk));for(int i = 1; i <= n; ++i)	if(spfa_dfs(i, ave))return true;return false;
} 
int main()
{string s;while(cin >> sn && sn != 0){for(int i = 0; i < N; ++i)edge[i].clear();num.clear();n = 0;for(int i = 1; i <= sn; ++i){cin >> s;if(s.length() < 2)continue;string front = s.substr(0, 2), back = s.substr(s.length()-2);if(num.find(front) == num.end())num[front] = ++n;if(num.find(back) == num.end())num[back] = ++n;edge[num[front]].push_back(Edge{num[back], (double)s.length()});		}if(!check(0))//ave为0，判断原图是否有正环 {cout << "No solution." << '\n';continue;}double l = 0, r = 1e8;while(r-l >= 1e-8){double mid = (l+r)/2;if(check(mid))l = mid;elser = mid;}cout << fixed << setprecision(2) << l << '\n';}return 0;
}