当前位置：首页 > news >正文

异或区间的划分

news 来源：原创 2025/4/22 6:23:55

给定一个长度为 n 的整数数组 nums[1..n]，求有多少种划分方式可以将它划分为若干个连续区间，使得每个区间的异或值都相同。

异或的一些性质

对于二进制

相同为0，不同为1

满足交换律、结合律：

a ⊕ b ⊕ c = a ⊕ c ⊕ b
a ⊕ a = 0
a ⊕ 0 = a

交换律： a ^ b = b ^ a

结合律：(a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)

自反性 / 恒等律：a ^ 0 = a

自异性 / 自消律：a ^ a = 0

for (int i = 1; i <= n; i++) 
{b[i] = b[i - 1] ^ nums[i];
}

nums[i]：存储第 i 个输入的数字，数组从下标 1 开始。
b[i]：前缀异或数组。
b[i] = nums[1] ^nums[2] ... ^ nums[i]

根据自消率，当i>j时，b[i] ^ b[j]表示为 nums[j+1] ^ nums[j+2] ^ ... ^ nums[i]

b[j]表示为 nums[1] ^ nums[2] ^ ... ^ nums[j]

b[i]表示为 nums[1] ^ nums[2] ^ ... ^ nums[j]^ ...^ nums[i-1] ^nums[i]

枚举所有可能的目标值target

unordered_set<int> possible_targets;
for (int i = 1; i <= n; i++) {possible_targets.insert(b[i]);
}

异或区间的候选值

只考虑了前缀异或值作为 target 值候选，因为任何合法划分中，一段可能的异或值 target，至少得在某次 b[i] ^ b[j] 中出现过，而当 j == 0，它就是 b[i]。

再且不计，一段合理的划分，第一段区间异或值就是b[i]

使用 unordered_set 去重，每种可能的区间异或值只遍历一次。

对每个 target 值做一次动态规划计算方案数

long long ans = 0;
for (int target : possible_targets) {vector<long long> dp_target(n + 1, 0);dp_target[0] = 1;

dp_target[i]：表示前 i 个数字中，以 i 为结尾、满足当前 target 的划分方案数

初始 dp_target[0] = 1，表示空序列有一种合法划分（啥都不划）。

在我理解应该是在序列开头划一刀

/ 1 2 1 2 1

for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (i == n && j == 0) continue; // 防止整体作为一段被重复计算//有意忽略“整段都不划分”的情况，防止它重复计数，但如果想把“整体一段”算进去，应该删掉它。if ((b[i] ^ b[j]) == target) {dp_target[i] = (dp_target[i] + dp_target[j]) % MOD;}}
}
ans = (ans + dp_target[n]) % MOD;

判断是否可以将 [j+1..i] 作为一段，并且这段的异或值为 target。
如果是，那就可以从 dp_target[j] 转移到 dp_target[i]。
最终 dp_target[n] 表示从 1 到 n 形成合法划分的方案数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 998244353;int main() {int n;cin >> n;vector<int> nums(n + 1, 0);// b[i] = nums[1] ^ nums[2] ^ ... ^ nums[i]vector<int> b(n + 1, 0); // b[i] 表示 nums[1..i] 的前缀异或vector<long long> dp(n + 1, 0); // dp[i] 表示以 i 结尾的合法划分方案数// 输入序列for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> nums[i];}// 计算前缀异或for (int i = 1; i <= n; i++) {b[i] = b[i - 1] ^ nums[i];}// 初始化dp[0] = 1; // 空序列有一种划分方案// 使用 unordered_set 去重 ,存储所有可能的目标 区间 异或值unordered_set<int> possible_targets;for (int i = 1; i <= n; i++) {possible_targets.insert(b[i]); // 将每个前缀异或值添加到集合中}// 对每个可能的 异或值目标 进行 DPlong long ans = 0;for (int target : possible_targets) {vector<long long> dp_target(n + 1, 0);dp_target[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if(i==n&&j==0)continue;//跳过了只考虑整个数组作为一段的情况 // b[i] ^ b[j] 即为 nums[j+1..i] 的异或值if ((b[i] ^ b[j]) == target) // [j+1 : i]   b[i] ^ b[j] 即为 nums[j+1..i] 的异或值{dp_target[i] = (dp_target[i] + dp_target[j]) % MOD;}}}ans = (ans + dp_target[n]) % MOD;}cout << ans << endl;//cout << ans + 1  << endl;//考虑整个数组作为一段,需要加1return 0;
}

示例；输入 5

序列为 1 2 1 2 1

异或前缀和 b[ ] = [0, 1, 3, 2, 0, 1]

target = 0，1，2，3

模拟区间异或 target = 1

i 从 1 到 5 遍历，逐步更新 dp_target[i]

dp_target[0] = 1

/ 1 2 1 2 1

[1 2 ] 1 2 1 表示为取 [ x x x ]此区间的异或运算

j < i

`i = 1`:

取target 为 b[1] = 1
对于所有 j 使得 b[i] ^ b[j] == 1 ： [ j+1 : i ]
- j = 0
- b[1] ^ b[0] = 1 ^ 0 = 1 ✅ [ 1 ] 2 1 2 1
- 满足条件的 j，因此 dp_target[1] += dp_target[0] = 1
- / 1 / 2 1 2 1
- dp_target[1] = 1

`i = 2`:

b[2] = 3
对于所有 j 使得 b[i] ^ b[j] == 1 ：
- j = 0
- b[2] ^ b[0] = 3 ^ 0 = 3 ≠ 1 [1 2 ] 1 2 1
  不符合条件
- j = 1
- b[2] ^ b[1] = 3 ^ 1 = 2 ≠ 1
  没有更多满足条件的 j，因此 dp_target[2] = 0

`i = 3`:

b[3] = 2
对于所有 j 使得 b[i] ^ b[j] == 1 ：
- j = 0 [ 1 2 1 ] 2 1
- b[3] ^ b[0] = 2 ^ 0 = 2 ≠ 1
- j = 1 1 [ 2 1 ]2 1
- b[3] ^ b[1] = 2 ^ 1 = 3 ≠ 1
- j = 2 1 2 [ 1 ] 2 1
- b[3] ^ b[2] = 2 ^ 3 = 1 ✅
- 这时，dp_target[3] += dp_target[2] = 0
- 没有更多满足条件的 j，因此 dp_target[3] = 0

`i = 4`:

b[4] = 0
对于所有 j 使得 b[i] ^ b[j] == 1 ：
- j = 0 [1 2 1 2 ] 1
- b[4] ^ b[0] = 0 ^ 0 = 0 ≠ 1
- j = 1 1 [ 2 1 2 ] 1
- b[4] ^ b[1] = 0 ^ 1 = 1 ✅
- dp_target[4] += dp_target[1] = 1
- / 1 / 2 1 2 / 1
- j = 2 1 2 [ 1 2 ] 1
- b[4] ^ b[2] = 0 ^ 3 = 3 ≠ 1
- j = 3
- b[4] ^ b[3] = 0 ^ 2 = 2 ≠ 3
  因此 dp_target[4] = 1
- / 1 / 2 1 2 / 1

`i = 5`:

b[5] = 1
对于所有 j 使得 b[i] ^ b[j] == 1 ：
- j = 0
- b[5] ^ b[0] = 1 ^ 0 = 1 ✅
- 如果考虑整段划分，也就是不划分
- dp_target[5] += dp_target[0] = 1
- / 1 2 1 2 1 /
- 程序中跳过了这种情况
- j = 1
- b[5] ^ b[1] = 1 ^ 1 = 0 ≠ 1
- j = 2
- b[5] ^ b[2] = 1 ^ 3 = 2 ≠ 1
- j = 3
- b[5] ^ b[3] = 1 ^ 2 = 3 ≠ 1
- j = 4
- b[5] ^ b[4] = 1 ^ 0 = 1 ✅
- 这时，dp_target[5] += dp_target[4] = 1
- / 1 / 2 1 2 / 1 /
- 因此 dp_target[5] = 1

当区段异或值区间目标值 target = 1 ，存在一种划分方法：/ 1 / 2 1 2 / 1 /

如果考虑整段 ++ dp_target[5] = 2 就会有两种划分情况

/ 1 / 2 1 2 / 1 /

/ 1 2 1 2 1 /

示例2：

b[ ] = [0, 1, 3, 2, 0, 1]
target = 3

`i = 1`:

b[1] = 1
对于所有 j 使得 b[i] ^ b[j] == 3：
- b[1] ^ b[0] = 1 ^ 0 = 1 ≠ 3 [1] 2 1 2 1
  没有满足条件的 j，因此 dp_target[1] = 0
- / 1 2 1 2 1

2. `i = 2`:

b[2] = 3
对于所有 j 使得 b[i] ^ b[j] == 3：
- b[2] ^ b[0] = 3 ^ 0 = 3 ✅ [1 2] 1 2 1
  这时，dp_target[2] += dp_target[0] = 1
- / 1 2 / 1 2 1
- b[2] ^ b[1] = 3 ^ 1 = 2 ≠ 3 1 [ 2 ] 1 2 1
  没有更多满足条件的 j，因此 dp_target[2] = 1

3. `i = 3`:

b[3] = 2
对于所有 j 使得 b[i] ^ b[j] == 3：
- b[3] ^ b[0] = 2 ^ 0 = 2 ≠ 3 [1 2 1 ] 2 1
- b[3] ^ b[1] = 2 ^ 1 = 3 ✅ 1 [2 1] 2 1
  这时，dp_target[3] += dp_target[1] = 0
- b[3] ^ b[2] = 2 ^ 3 = 1 ≠ 3 1 2 [1] 2 1
  没有更多满足条件的 j，因此 dp_target[3] = 0

4. `i = 4`:

b[4] = 0
对于所有 j 使得 b[i] ^ b[j] == 3：
- b[4] ^ b[0] = 0 ^ 0 = 0 ≠ 3 [1 2 1 2] 1
- b[4] ^ b[1] = 0 ^ 1 = 1 ≠ 3 1 [ 2 1 2] 1
- b[4] ^ b[2] = 0 ^ 3 = 3 ✅ 1 2 [ 1 2] 1
  这时，dp_target[4] += dp_target[2] = 1
- /1 2 / 1 2 / 1
- b[4] ^ b[3] = 0 ^ 2 = 2 ≠ 3 1 2 1 [ 2 ] 1
  因此 dp_target[4] = 1

5. `i = 5`:

b[5] = 1
对于所有 j 使得 b[i] ^ b[j] == 3：
- b[5] ^ b[0] = 1 ^ 0 = 1 ≠ 3 [ 1 2 1 2 1 ]
- / 1 2 1 2 1 /
- 整段划分程序出跳过
- b[5] ^ b[1] = 1 ^ 1 = 0 ≠ 3 1[ 2 1 2 1 ]
- b[5] ^ b[2] = 1 ^ 3 = 2 ≠ 3 1 2 [1 2 1 ]
- b[5] ^ b[3] = 1 ^ 2 = 3 ✅ 1 2 1 [ 2 1 ]
  这时，dp_target[5] += dp_target[3] = 0
- b[5] ^ b[4] = 1 ^ 0 = 1 ≠ 3 1 2 1 2 [ 1 ]
  因此 dp_target[5] = 0