【泊松过程和指数分布】
泊松过程的均值函数与方差函数计算
1. 泊松过程的定义
泊松过程是一个计数过程 { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t), t \geq 0\} {N(t),t≥0}，满足以下条件：
- 独立增量：在不相交时间段内事件发生次数相互独立；
- 平稳增量：在时间区间 ( t , t + Δ t ] (t, t+\Delta t] (t,t+Δt] 内事件发生的概率仅与 Δ t \Delta t Δt 长度有关；
- 稀有性：在极短时间 Δ t \Delta t Δt 内，发生多于一次事件的概率可以忽略。
对于强度为 λ \lambda λ 的齐次泊松过程，事件发生次数 N ( t ) N(t) N(t) 服从参数为 λ t \lambda t λt 的泊松分布：
N ( t ) ∼ Poisson ( λ t ) . N(t) \sim \text{Poisson}(\lambda t). N(t)∼Poisson(λt).
2. 均值函数（数学期望）
均值函数 m ( t ) = E [ N ( t ) ] m(t) = E[N(t)] m(t)=E[N(t)] 表示 [ 0 , t ] [0, t] [0,t] 内事件发生的平均次数。
- 计算公式：
m ( t ) = λ t . m(t) = \lambda t. m(t)=λt. - 推导：
由于 N ( t ) ∼ Poisson ( λ t ) N(t) \sim \text{Poisson}(\lambda t) N(t)∼Poisson(λt)，泊松分布的均值为其参数：
E [ N ( t ) ] = λ t . E[N(t)] = \lambda t. E[N(t)]=λt.
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3. 方差函数
方差函数 Var ( N ( t ) ) \text{Var}(N(t)) Var(N(t)) 描述 [ 0 , t ] [0, t] [0,t] 内事件发生次数的波动程度。
- 计算公式：
Var ( N ( t ) ) = λ t . \text{Var}(N(t)) = \lambda t. Var(N(t))=λt. - 推导：
泊松分布的方差等于其均值：
Var ( N ( t ) ) = E [ N ( t ) ] = λ t . \text{Var}(N(t)) = E[N(t)] = \lambda t. Var(N(t))=E[N(t)]=λt.
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4. 非齐次泊松过程的推广
对于强度函数 λ ( t ) \lambda(t) λ(t) 随时间变化的非齐次泊松过程：
- 均值函数：
m ( t ) = ∫ 0 t λ ( s ) d s . m(t) = \int_0^t \lambda(s) \, ds. m(t)=∫0tλ(s)ds. - 方差函数：
Var ( N ( t ) ) = ∫ 0 t λ ( s ) d s . \text{Var}(N(t)) = \int_0^t \lambda(s) \, ds. Var(N(t))=∫0tλ(s)ds.
此时均值和方差仍相等，但需通过积分计算1。
5. 示例
假设某车站的乘客到达服从强度 λ = 5 人/分钟 \lambda = 5 \, \text{人/分钟} λ=5人/分钟 的齐次泊松过程：
- 1小时的均值与方差：
m ( 60 ) = Var ( N ( 60 ) ) = 5 × 60 = 300. m(60) = \text{Var}(N(60)) = 5 \times 60 = 300. m(60)=Var(N(60))=5×60=300. - 解释：预计1小时内到达300人，且波动范围（标准差）为 300 ≈ 17.3 \sqrt{300} \approx 17.3 300≈17.3 人。
指数分布过程的均值函数与方差计算
1. 指数分布的定义
指数分布是描述**连续时间马尔可夫链（CTMC）**中状态停留时间的典型分布。其概率密度函数为：
f ( t ) = λ e − λ t , t ≥ 0 f(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t \geq 0 f(t)=λe−λt,t≥0
其中， λ > 0 \lambda > 0 λ>0 为 速率参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。
2. 均值函数（数学期望）
均值函数 E [ T ] E[T] E[T] 表示事件发生的平均间隔时间。
- 计算公式：
E [ T ] = 1 λ E[T] = \frac{1}{\lambda} E[T]=λ1 - 推导：
通过积分计算期望：
E [ T ] = ∫ 0 ∞ t ⋅ λ e − λ t d t = 1 λ . E[T] = \int_0^\infty t \cdot \lambda e^{-\lambda t} \, dt = \frac{1}{\lambda}. E[T]=∫0∞t⋅λe−λtdt=λ1.
使用分部积分法（令 u = t u = t u=t， d v = λ e − λ t d t dv = \lambda e^{-\lambda t} dt dv=λe−λtdt）可得结果。
3. 方差函数
方差函数 Var ( T ) \text{Var}(T) Var(T) 描述事件间隔时间的波动程度。
- 计算公式：
Var ( T ) = 1 λ 2 \text{Var}(T) = \frac{1}{\lambda^2} Var(T)=λ21 - 推导：
- 计算二阶矩：
E [ T 2 ] = ∫ 0 ∞ t 2 ⋅ λ e − λ t d t = 2 λ 2 . E[T^2] = \int_0^\infty t^2 \cdot \lambda e^{-\lambda t} \, dt = \frac{2}{\lambda^2}. E[T2]=∫0∞t2⋅λe−λtdt=λ22. - 方差公式：
Var ( T ) = E [ T 2 ] − ( E [ T ] ) 2 = 2 λ 2 − ( 1 λ ) 2 = 1 λ 2 . \text{Var}(T) = E[T^2] - (E[T])^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{1}{\lambda^2}. Var(T)=E[T2]−(E[T])2=λ22−(λ1)2=λ21.
- 计算二阶矩：
4. 应用示例
假设某电子元件的寿命服从速率 λ = 0.1 小时 − 1 \lambda = 0.1 \, \text{小时}^{-1} λ=0.1小时−1 的指数分布：
- 平均寿命：
E [ T ] = 1 0.1 = 10 小时 . E[T] = \frac{1}{0.1} = 10 \, \text{小时}. E[T]=0.11=10小时. - 寿命波动：
Var ( T ) = 1 0. 1 2 = 100 小时 2 , 标准差 = 100 = 10 小时 . \text{Var}(T) = \frac{1}{0.1^2} = 100 \, \text{小时}^2, \quad \text{标准差} = \sqrt{100} = 10 \, \text{小时}. Var(T)=0.121=100小时2,标准差=100=10小时.
5. 与泊松过程的关系
在泊松过程中，事件发生的时间间隔服从指数分布：
- 速率参数 λ \lambda λ：泊松过程的强度参数。
- 均值与方差：均值和方差均与泊松过程的强度直接相关，体现了事件发生的规律性和稳定性。
6. 总结
- 均值： 1 λ \frac{1}{\lambda} λ1（事件间隔的平均时间）。
- 方差： 1 λ 2 \frac{1}{\lambda^2} λ21（间隔时间的波动程度）。
- 特性：指数分布具有 无记忆性，即未来事件发生的概率仅与当前时间有关，与历史无关。
泊松过程的均值与方差公式推导（参考材料 ID 3） ↩︎ ↩︎ ↩︎