图聚类中的亲和力传播

图中展示的是Affinity Propagation（亲和力传播）算法中的一个关键步骤——更新吸引度矩阵。Affinity Propagation是一种聚类算法，它通过消息传递的方式找到数据集中的代表性样本（称为exemplar或原型），并将其他数据点分配给这些原型，从而实现聚类。

### 1. **吸引度矩阵（Responsibility Matrix）与可用性矩阵（Availability Matrix）**

在Affinity Propagation算法中，有两个重要的矩阵：
- **吸引度矩阵 \( r(i, k) \)**：表示数据点 \( i \) 选择数据点 \( k \) 作为其原型的合适程度。
- **可用性矩阵 \( a(i, k) \)**：表示数据点 \( k \) 作为数据点 \( i \) 的原型的合适程度。

### 2. **更新吸引度矩阵的公式**

\[ r(i, k) \leftarrow s(i, k) - \max_{k' \neq k} \{a(i, k') + s(i, k')\} \]

其中：
- \( s(i, k) \) 是相似度矩阵中的元素，表示数据点 \( i \) 和数据点 \( k \) 之间的相似度。
- \( a(i, k') \) 和 \( s(i, k') \) 分别是数据点 \( i \) 对于其他候选原型 \( k' \) 的可用性和相似度。

这个公式的目的是计算数据点 \( i \) 选择数据点 \( k \) 作为其原型的“净吸引力”。具体来说，它考虑了数据点 \( i \) 与数据点 \( k \) 的直接相似度 \( s(i, k) \)，并减去数据点 \( i \) 对于其他候选原型的最大吸引力。

### 3. **图示解释**

#### 左图：发送责任（Sending responsibilities）

- **Data point i**：当前考虑的数据点。
- **Candidate exemplar k**：候选原型 \( k \)。
- **Competing candidate exemplar k'**：与其他候选原型 \( k' \) 竞争成为数据点 \( i \) 的原型。
- **r(i, k)**：数据点 \( i \) 选择候选原型 \( k \) 的责任（净吸引力）。
- **a(i, k)**：数据点 \( k \) 作为数据点 \( i \) 原型的可用性。

左图展示了数据点 \( i \) 在选择候选原型 \( k \) 时，需要考虑 \( k \) 与其他候选原型 \( k' \) 的竞争关系。\( r(i, k) \) 表示在排除其他候选原型的影响后，数据点 \( i \) 选择 \( k \) 的净吸引力。

#### 右图：发送可用性（Sending availabilities）

- **Candidate exemplar k**：候选原型 \( k \)。
- **Supporting data point i'**：支持数据点 \( i' \)，即认为 \( k \) 是一个好原型的数据点。
- **r(i', k)**：支持数据点 \( i' \) 选择候选原型 \( k \) 的责任。
- **a(i, k)**：数据点 \( k \) 作为数据点 \( i \) 原型的可用性。

右图展示了候选原型 \( k \) 在被数据点 \( i \) 考虑为原型时，需要考虑其他支持数据点 \( i' \) 的意见。\( a(i, k) \) 表示在综合其他支持数据点的意见后，数据点 \( k \) 作为数据点 \( i \) 原型的合适程度。

### 4. **总结**

Affinity Propagation算法通过迭代更新吸引度矩阵和可用性矩阵，逐步确定每个数据点的最佳原型，从而实现聚类。图中展示的步骤是算法的核心部分，通过计算和传递责任与可用性信息，使得算法能够自动发现数据集中的代表性样本，并将其他数据点合理地分配到不同的簇中。