2023 国考

一、谓词逻辑（3分）

新冠病毒比任何一种流感病毒传染性强。（必须同时使用全称量词和存在量词，论域为一切事物）

二、选择题（每题2分，共12分）

1. 已所不欲，勿施于人，不是逻辑推论（ ）

   A. 只有已所欲，才能施于人 B. 除非已所欲，否则不施于人

   C. 若已所谷，则施于人 D. 凡是施于人的都应该是已所欲

2. 已经知 $A,B$ 是集合，$P(A),P(B)$ 为其幂集，且 $A\cap B=\varnothing$，则 $P(A) \cap P(B) = $ （ ）

   A. $\varnothing$ B. { ∅ } \{\varnothing\} {∅} C. { { ∅ } } \{\{\varnothing\}\} {{∅}} D. { ∅ , { ∅ } } \{\varnothing, \{\varnothing\}\} {∅,{∅}}

3. 高度 $h(h\ge 1)$ 且有 $k$ 个叶子的完全二叉树中，$h$ 和 $k$ 满足的关系式 （ ）

   A. $h={\log }_2(k+1)$ B. $2^h=k$ C. $h=2^k$ D. $h>{\log }_{2}k$

4. 方程 $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=10$ 的正整数角的个数 （ ）

   A. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{5}\right)$ B. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{4}\right)$ C. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}\right)$ D. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{5}\right)$

5. 表达式 $(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5{)}^6$ 的展开式合并同类项后 $x_1^2{x}_2{x}_3{x}_4^3{x}_5$ 的系数 （ ）

   A. $\frac{6!}{2!3!}$ B. $\frac{6!}{2!}$ C. $\frac{6!}{3!}$ D. $\frac{6!}{5!}$

6. 设 ${\pi }_k(G)$ 是用 $k$ 种颜色给图 $G$ 正常着色的不同方法数，且 $P4$ 表示有 $4$ 个顶点的路，则 ${\pi }_k(P4)$ 等于（）

   A. $k(k-1)(k-2)$ B. $k^3(k-1)$ C. $k(k-1{)}^2(k-2)$ D. $k(k-1{)}^3$

三、填空题（第1题每空1分，第2题每空2分，共9分）

1. 集合 A = { 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 8 ， 9 ， 10 ， 12 ， 14 } A=\{2，3，4，5，6，8，9，10，12，14\} A={2，3，4，5，6，8，9，10，12，14}，偏序关系 $R$ 为 $A$ 上的整除关系，则 $<A,R>$ 最长链____，最长链个数____，最长反链长度______，极大元个数____，极小元个数____，最小元为____，最大元为____。

   答案：3、3、5、5、3、无、无

2. 平面连通图所有面度数之和为 $a$，其边数为 $b$，$a$ 和 $b$ 的关系（$a=2b$） 。

   答案：a=2b

四、计算题（共11分）

1.（5分）求小于 1001 且可以被 3 或 5 整除的正整数个数。

答案：1000/3 = 333，1000/5 = 200，1000/3*5 = 66，333+200-66=467

2.（6分）计算 $\sum _{k=1}^{n}k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ 的值

五、证明题（5分）

对于任意集合 $A、B、C$，已知 $A\cup B=A\cup C$，且 $A\cap B=A\cap C$ ，证明$B=C$。

证明：

对于 $\forall x\in B$

(1) 如果 $x\notin A$，则 $x \in A \cup B $，因为 $A\cup B=A\cup C$, 所以 $x\in A\cup C$，所以 $x\in C$，$B\subseteq C$

(2) 如果 $x\in A$，则 $x\in A\cap B$，因为 $A\cap B=A\cap C$，所以 $x\in A\cap C$，所以 $x\in C$，$B\subseteq C$

同理可得 $C\subseteq B$

所以有 $B=C$