高等数学第一章---函数与极限(1.8连续函数及其连续性)

§1.8 连续函数及其连续性

观察某地一日的气温随时间的变化曲线 $T=T(t)$ ，如图，曲线是连续变化的，没有间断的情况。分析其原因：当时间 $t$ 有微小变化时 $(\Delta t\to 0)$ ，气温也有微小变化 $(\Delta T\to 0)$ 。

一、自变量改变量与函数改变量

设 $y=f(x)$ ，自变量 $x_1$ 从 $x_1$ 改变到 $x_2$ 时，$\Delta x=x_2-x_1$ 称为自变量在 $x_1$ 处的改变量；相应的有 $\Delta y=f(x_2)-f(x_1)$ 称为函数的改变量。

注：

1. 自变量改变量 $\Delta x$ 是终点横坐标减起点横坐标，因此，$\Delta x$ 可正可负；

2. 一般情况下，起点为 $x_0$ ，终点为 $x_0+\Delta x$ ，因此，函数改变量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 。

二、连续函数的概念

1. $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续

定义 1 设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义，如果 $x$ 在 $x_0$ 处有改变量 $\Delta x$ ，相应的有函数改变量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ ，当 $\Delta x$ 有微小变化时，$\Delta y$ 也有微小变化，即 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$ ，则称函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

例如：$y=x^2,x_0=0,\Delta y=f(0+\Delta x)-f(0)=\Delta x^2,{\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$ ，即 $y=x^2$ 在 $x=0$ 处连续。

注： 若记 $x_0+\Delta x=x$ ，即 $\Delta x=x-x_0$ ，则 $\Delta y=f(x)-f(x_0)$ ，于是有

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=0\iff \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$

因此，有下述等价定义。

定义 2 设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义，若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ ，则称函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

注： 由定义 2 知，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续需要满足 3 个条件：(1) $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义；(2) ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在；(3) ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ 。

2. $f(x)$ 在 $x_0$ 处左、右连续

由于 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\iff {\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=f(x_0)$ ，因此有下述单侧连续的定义。

定义 3 设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的左邻域内有定义，若 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=f(x_0)$ ，则称函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处左连续；设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的右邻域内有定义，若 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=f(x_0)$ ，则称函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处右连续。

例如：

1. $f(x)=\{\begin{array}{ll}1-x& x<0\\ 1& x=0\\ 1+x& x>0\end{array}$

2. $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-1& x<0\\ x+1& x\ge 0\end{array}$

注： $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续 $\iff f(x)$ 在 $x_0$ 处既左连续，又右连续。

例 1 设 $f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}\sin x,x<0\\ a\\ x\sin +b,x>0\end{array}$ ，在 $x=0$ 处正确的是()

A. $a=1$ 时 $f(x)$ 左连续；
B. $a=b$ 时 $f(x)$ 右连续；
C. $b=1$ 时 $f(x)$ 必连续；
D. $a=b=1$ 时 $f(x)$ 必连续；

3. $f(x)$ 在区间 I 上连续

定义 4 若 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内每一点都连续，则称 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内连续；若 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内连续，且在 $a$ 处又连续，在 $b$ 处左连续，则称 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。

例如：证明 $y=x^2$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内连续。

4. 连续函数

若函数 $y=f(x)$ 在区间 I 上连续，则称 $y=f(x)$ 是区间 I 上的连续函数，区间 I 称为连续区间。

三、间断点及其分类

1. 间断点

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不满足连续的条件，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续，$x_0$ 称为 $f(x)$ 的间断点。

例如：

1. $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-1& x\le 0\\ x+1& x>0\end{array}$
2. $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-1& x<0\\ x+1& x\ge 0\end{array}$
3. $f(x)=\{\begin{array}{ll}1-x& x<0\\ 0& x=0\\ 1+x& x>0\end{array}$

注： $f(x)$ 的间断点的判别：如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处满足下列情况之一，则 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点。

(1) $f(x)$ 在 $x_0$ 处无定义；
(2) ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 不存在；
(3) ${\lim }_{x\to x_0}f(x)eqf(x_0)$ 。

2. 分类

设 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点，

(1) 第一类间断点：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左、右极限存在，则 $x_0$ 为 $f(x)$ 的第一类间断点。

① 跳跃间断点：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左、右极限存在，但不相等，则 $x_0$ 为 $f(x)$ 的跳跃间断点。

② 可去间断点：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左、右极限存在且相等，则 $x_0$ 为 $f(x)$ 的可去间断点。

注： 可去间断点可以进行连续延拓，即补充函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的定义，使 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ ，这时 $f(x)$ 在 $x_0$ 处就连续了。

(2) 第二类间断点：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左、右极限中至少有一个是不存在的，则 $x_0$ 为 $f(x)$ 的第二类间断点。

① 无穷间断点：若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$ （或 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=\infty$ ，或 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=\infty$ ），则 $x_0$ 为 $f(x)$ 的无穷间断点。

② 振荡间断点

例：

1. $f(x)=\{\begin{array}{lc}x-1& x\le 0\\ x+1& x>0\end{array}$ ，$x=0$ 为跳跃间断点；
2. $f(x)=\{\begin{array}{lc}1+x& x<0\\ 0& x=0\\ 1-x& x>0\end{array}$
3. $f(x)=\frac{1}{x},x=0$ 为无穷间断点；
4. $f(x)=\sin \frac{1}{x},x=0$ 为振荡间断点。

例 1 设 $f(x)=\{\begin{array}{lc}\frac{1}{x^2}& x\le 1,且xeq0\\ \frac{x^2-4}{x-2}& x>1,且xeq2\end{array}$ ，求 $f(x)$ 的间断点及类型。

例 2 函数 $f(x)=\frac{x-x^3}{\sin \pi x}$ 的可去间断点的个数为 $\sin \pi x$ 。

例 3 设 $f(x)=\frac{\sin (x-1)}{x^2-1}$ ，则下列结论正确的是

A. $x=-1$ 是可去间断点，$x=1$ 为无穷间断点
B. $x=-1$ 是无穷间断点，$x=1$ 为可去间断点
C. $x=-1,x=1$ 都是可去间断点
D. $x=-1,x=1$ 都是无穷间断点

例 4 要使 $f(x)=\frac{1-\sqrt{1-x}}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ 在 $x=0$ 处连续，则需要补充定义 $f(0)=1-\sqrt[3]{1-x}$ 。

四、连续函数的运算法则

1. 四则运算：若 $f(x)$, $g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则 $f(x)\pm g(x),f(x)\cdot g(x),\frac{f(x)}{g(x)}(g(x_0)eq0)$ 在 $x_0$ 处也连续。

2. 反函数的连续性：若 $y=f(x)$ 单调且连续，则其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 也是单调且连续。

3. 复合函数的连续性：设 $y=f[\phi (x)]$ ，若 $u=\phi (x)$ 在 $x_0$ 处连续，$y=f(u)$ 在 $u_0(u_0=\phi (x_0))$ 处连续，则复合函数 $y=f[\phi (x)]$ 在 $x_0$ 处连续。

五、初等函数的连续性

可以证明，基本初等函数在其定义域上都是连续的，由连续函数的运算法则及初等函数的定义知：一切初等函数在其定义区间上都是连续的。

六、闭区间上连续函数的性质

1. 最值性：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一定有最大值和最小值。

注： 开区间内连续或闭区间上间断，结论不成立。

例如：
① $y=\tan x,x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$；
② $f(x)=\{\begin{array}{lc}1-x& 0\le x<1\\ 1& x=1\\ 3-x& 1<x\le 2\end{array}$

2. 有界性：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一定有界。

注： 开区间内连续或闭区间上间断，结论不成立。

3. 介值性：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$M$, $m$ 分别是最大值和最小值，则对介于 $M$ 和 $m$ 之间的任一实数 $c(m<c<M)$ ，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使 $f(\xi )=c$ 。

4. 零点定理（实根存在性定理）：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)f(b)<0$ ，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使 $f(\xi )=0$ 。

例 1 证明：方程 $x^3-3x^2-x+3=0$ 在 $(-2,0)$, $(0,2)$, $(2,4)$ 内各有一个实根。

例 2 证明：方程 $\sin x+x+1=0$ 至少有一个实根。

例 3 设 $f(x)$, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)<g(a)$, $f(b)>g(b)$，证明：在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $f(\xi )=g(\xi )$ 。

作业与参考答案

1. 求下列函数的间断点，并判断间断点的类型


2. 下列函数在$x=0$处不连续，补充定义$f(0)$使之连续

3. 证明方程$x^5-3x=1$至少有一个根介于1和2之间。

4.设 $f(x)$ 在 $[0,2a]$ 上连续，且 $f(0)=f(2a)$，证明：在 $[0,a]$ 上至少存在一点 $\xi$ ，使 $f(\xi )=f(\xi +a)$ 。