高等数学第二章---导数与微分（2.1~2.3）

§2.1 引例

上一章研究函数连续性时给出了自变量改变量 $\Delta x$ 和因变量改变量 $\Delta y$，在实际问题中经常需要研究因变量 $y$ 随自变量 $x$ 变化快慢的程度，即平均变化率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 和瞬时变化率 $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$。下面从两个实际问题出发，抽象出共同的数学本质，即瞬时变化率 $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 这一数学模型。

例1 变速直线运动的速度问题

已知一物体作变速直线运动，路程是时间的函数 $s=s(t)$。求 $t_0$ 时刻的瞬时速度。

解：由于物体作变速运动，显然不能孤立地计算某一时刻的瞬时速度。先让时间 $t$ 在 $t_0$ 处产生改变量 $\Delta t$，然后计算该时间段上的平均速度
$$\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}$$
最后当 $\Delta t\to 0$ 时求极限得到 $t_0$ 时刻的瞬时速度
$$v\left(t_0\right)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta s}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}\text{\hspace{1em}(1)}$$

例2 曲线的切线斜率问题

设曲线 $y=f(x)$，求曲线上 $M_0(x_0,y_0)$ 处的切线斜率。

解：由于切线是割线的极限位置，因此不能孤立地计算一点处的切线斜率。让自变量 $x$ 在 $x_0$ 处产生改变量 $\Delta x$，即在曲线上 $M_0(x_0,y_0)$ 附近再找一点 $M(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$，然后作割线 $M{M}_0$。割线 $M{M}_0$ 的斜率
$$\bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
最后当点 $M$ 沿曲线无限趋近于 $M_0$ 时，即当 $\Delta x\to 0$ 时，割线 $M{M}_0$ 达到极限位置即为切线 $M_{0}T$，于是切线斜率为
$$k=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\text{\hspace{1em}(2)}$$

总结：上述两个问题的实际意义不同，但有共同的数学本质，即有相同的数学模型
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$$
我们把这种瞬时变化率的模型称为导数。

§2.2 导数的概念

一、导数的定义

1. $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数

定义：设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义，当 $x$ 在 $x_0$ 处有改变量 $\Delta x$ 时，相应有 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$。若
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$$
存在，则称 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，极限值称为导数，记作
$$f^{\prime }\left(x_0\right),y^{\prime }{\mid }_{x=x_0},{\frac{dy}{dx}|}_{x=x_0},{\frac{df}{dx}|}_{x=x_0}$$
即
$$f^{\prime }\left(x_0\right)=y^{\prime }{\mid }_{x=x_0}={\frac{dy}{dx}|}_{x=x_0}={\frac{df}{dx}|}_{x=x_0}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$$
否则，则称 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处不可导。

注：$y=f(x)$ 在 $x_0$ 处导数的几种形式：

1. $f^{\prime }\left(x_0\right)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
2. $f^{\prime }\left(x_0\right)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$
3. 记 $x_0+\Delta x=x$，则 $f^{\prime }\left(x_0\right)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$
4. 记 $\Delta x=h$，则 $f^{\prime }\left(x_0\right)={\lim }_{h\to 0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$

例1 求 $y=x^2$ 在 $x=2$ 处的导数

解：
$$f^{\prime }(2)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$$

例2 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则下列各式中结果等于 $f^{\prime }\left(x_0\right)$ 的是（D）

(A) ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x_0\right)-f\left(x_0+\Delta x\right)}{\Delta x}$
(B) ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x_0-\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$
© ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x_0+2\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$
(D) ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x_0+2\Delta x\right)-f\left(x_0+\Delta x\right)}{\Delta x}$

解：

• $f^{\prime }\left(x_0\right)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$
• (A) ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x_0\right)-f\left(x_0+\Delta x\right)}{\Delta x}=-{\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=-f^{\prime }\left(x_0\right)$
• (B) ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x_0-\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=-{\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x_0+(-\Delta x)\right)-f\left(x_0\right)}{-\Delta x}=-{\lim }_{h\to 0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=-f^{\prime }\left(x_0\right)$
• © $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+2\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=2\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+2\Delta x)-f(x_0)}{2\Delta x}=2f^{\prime }(x_0)$
• (D) $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+2\Delta x)-f(x_0+\Delta x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\frac{f(x_0+2\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}-\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\right)=2f^{\prime }(x_0)-f^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)$

例3 下列条件中，当 $\Delta x\to 0$ 时，使 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不可导的条件是（D）

(A) $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 是等价无穷小量
(B) $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 是同阶无穷小量
© $\Delta y$ 是比 $\Delta x$ 较高阶的无穷小量
(D) $\Delta y$ 是比 $\Delta x$ 较低阶的无穷小量

解：
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

• (A) $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=1$
• (B) $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=c$ （$c$ 为非零常数）
• © $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=0$
• (D) $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\infty$

2. $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左、右导数（单侧导数）

(1) 左导数

定义：设 $y=f(x)$ 在包含 $x_0$ 的左邻域内有定义，若
$$\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
存在，则称 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处左可导，极限值称为左导数，记 $f_{-}^{\prime }(x_0)$，即
$$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

(2) 右导数

类似有右导数
$$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

注：

• $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导 $\iff$ $f(x)$ 在 $x_0$ 处左右导数存在且相等

例4 求 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处的左、右导数

解：
$$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x-0}{x-0}=-1,$$
$$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x-0}{x-0}=1$$

例5 求 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1-\cos x,& x\ge 0\\ x,& x<0\end{array}$ 在 $x=0$ 处的左右导数

解：
$$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x-0}{x-0}=1,$$
$$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-\cos x-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{x^2}{2!}}{x}=0$$

例6 求 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x& x<0\\ \ln (1+x)& x\ge 0\end{array}$ 在 $x=0$ 处的左右导数

解：
$$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x-0}{x-0}=1,$$
$$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln (1+x)-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$$

注：$f(x)$在$x_0$处可导 $\iff f(x)$在$x_0$处左右导数存在且相等

如：例4和例5：在$x=0$处不可导；例6：$f^{\prime }(0)=1$

3. $f(x)$ 在 $x$ 处的导数（导函数）

${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 称为 $f(x)$ 在 $x$ 的导数（导函数），记作
$$f^{\prime }(x),y^{\prime },\frac{dy}{dx},\frac{df}{dx}$$
即
$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

注：

• $f^{\prime }(x_0)$ 与 $f^{\prime }(x)$ 的关系：$f^{\prime }(x_0)={f^{\prime }(x)|}_{x=x_0}$

例7 求下列函数的导数

1. $y=C$
2. $y=x^n$
3. $y=\sin x$
4. $y=\cos x$
5. $y=a^x$

提示：

• $$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2},\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$$
• ${\left(x^a\right)}^{\prime }={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x{)}^a-x^a}{\Delta x}=a{x}^{a-1}$
• ${\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\ln a$，特别的 ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$

二、可导与连续的关系

定理：若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处一定连续。

证明：
可导 $\Rightarrow f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}\times \Delta x=0$，即连续。

注：

• 可导必连续，连续不一定可导，如 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处连续不可导。
• 不连续一定不可导。

例8 讨论$f(x)=\{\begin{array}{ll}x\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$在$x=0$处的连续性和可导性。

例9 讨论$f(x)=\{\begin{array}{ll}x-1,& x\le 0\\ 2x,& 0<x\le 1\\ x^2+1,& 1<x\le 2\\ \frac{x^2}{2}+4x,& x>2\end{array}$在$x=0,x=1,x=2$处的连续性和可导性。

三、导数的几何意义

$f^{\prime }\left(x_0\right)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0,y_0\right)$ 处的切线斜率，即 $k=f^{\prime }\left(x_0\right)$。

切线方程为：
$$y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

法线方程为：
$$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$$

例10 求曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程与法线方程。

解：

1. 首先求导数：
   $$y^{\prime }={\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$$
2. 在 $x=1$ 处的导数为：
   $$f^{\prime }(1)=-1$$
3. 切线方程：
   $$y-1=-1(x-1)\Rightarrow y=-x+2$$
4. 法线方程（斜率为负倒数）：
   $$y-1=1(x-1)\Rightarrow y=x$$

作业

1. 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，求
   $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0-\Delta x)}{\Delta x}$$

2. 设
   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{3}{x}^3& x\le 1\\ x^2& x>1\end{array}$$
   讨论 $f_{-}^{\prime }(1),f_{+}^{\prime }(1),f^{\prime }(1)$ 是否存在。

3. 求下列函数的导数

   • (1) $y=\frac{1}{x^2}$
   • (2) $y=\frac{x^4}{\sqrt{x}}$
   • (3) $y=x^3\cdot \sqrt[5]{x}$

4. 讨论函数
   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x\sin \frac{1}{x},& xeq0\\ 0,& x=0\end{array}$$
   在 $x=0$ 处的连续性和可导性。

5. 设
   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x⩽1\\ ax+b,& x>1\end{array}$$
   若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处既连续又可导，求 $a,b$ 的值。

6. 求曲线 $y=\sqrt[3]{x^2}$ 上点 $(1,1)$ 处的切线方程和法线方程。

§2.3 函数的求导法则

一、求导法则

1. 四则法则

定理1 设 $u(x),v(x)$ 在 $x$ 处可导，则它们的和、差、积、商在 $x$ 处都可导，且：

1. 加法法则
   $$(u(x)+v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)+v^{\prime }(x)$$

2. 减法法则
   $$(u(x)-v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)-v^{\prime }(x)$$

3. 乘法法则
   $$(u(x)\cdot v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$$

4. 除法法则
   $${\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v^{\prime }(x)}{v^2(x)}$$

证明（以加法和乘法为例）：

• 加法法则：
  $$(u(x)+v(x){)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(u(x+\Delta x)+v(x+\Delta x))-(u(x)+v(x))}{\Delta x}=u^{\prime }(x)+v^{\prime }(x)$$

• 乘法法则：
  $$(u(x)\cdot v(x){)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$$
  $$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x+\Delta x)+u(x)\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\right]$$
  $$=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$$

注：

1. 求导公式，加法减法法则(1)(2)可推广至有限个函数：
   $$(u_1(x)\pm u_2(x)\pm \cdots \pm u_n(x){)}^{\prime }=u_1^{\prime }(x)\pm u_2^{\prime }(x)\pm \cdots \pm u_n^{\prime }(x)$$

2. 求导公式乘法法则（3）推广到三个函数乘积的导数：
   $$(uvw{)}^{\prime }=u^{\prime }vw+u{v}^{\prime }w+uv{w}^{\prime }$$

3. 常数倍法则：
   $$(Cu(x){)}^{\prime }=C{u}^{\prime }(x)(C为常数)$$

例1 求下列函数的导数：

1. $y=2x^3-5x^2+3x-7$
2. $y=e^x(\sin x+\cos x)$
3. $y=\frac{x^4}{3}-\frac{4}{x^3}$
4. $y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$
5. $y=\tan x$
6. $y=\cot x$
7. $y=\sec x$
8. $y=\csc x$

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2. 反函数的求导法则

定理2 设 $y=f(x)$ 在区间 $I_x$ 上单调可导，且 $f^{\prime }(x)\ne 0$，则其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在对应区间 $I_y$ 上也可导，且：
$$(f^{-1}(y){)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$$

证明：
对函数 $x=f^{-1}(y)$，设 $\Delta x=f^{-1}(y+\Delta y)-f^{-1}(y)$，当 $\Delta y\ne 0$ 时，$\Delta x\ne 0$（否则与单射性矛盾）。于是：
$$\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}⟹\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta y}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$$

例2 求下列反三角函数的导数：

• $y=\arcsin x$
• $y=\arccos x$
• $y=\arctan x$
• $y=\text{arccot }x$

例3 求对数函数的导数：

• $y={\log }_{a}x$

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3. 复合函数求导法则

定理3 设 $y=f[\phi (x)]$，若 $u=\phi (x)$ 在 $x$ 处可导，$y=f(u)$ 在 $u$ 处可导，则复合函数 $y=f[\phi (x)]$ 在 $x$ 处可导，且：
$$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(u)\cdot {\phi }^{\prime }(x)$$

证明：
设自变量有改变量 $\Delta x$，则：
$$\Delta u=\phi (x+\Delta x)-\phi (x),\Delta y=f(u+\Delta u)-f(u)$$
由导数定义：
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$$
两边取极限：
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta u\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u}{\Delta x}=f^{\prime }(u)\cdot {\phi }^{\prime }(x)$$

注：复合函数求导法则可推广至有限次复合，如：
$$y=f[g[\phi (x)]]⟹\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(v)\cdot {\phi }^{\prime }(x)$$

例4 求下列复合函数的导数：

1. $y=(1+2x{)}^{30}$
2. $y=\ln (\sin x)$
3. $y=e^{-x}$
4. $y={\left(\frac{x}{2x+1}\right)}^n$
5. $y=\ln (x-\sqrt{x^2+a^2})$
6. $y=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}$
7. $y=e^{\sqrt{1+\cos x}}$

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4. 取对数求导法则

适用类型：

1. 幂指函数 $y=f(x{)}^{g(x)}$
2. 形如 $y=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ 的函数

求导步骤：
3. 等式两边取对数
4. 等式两边对 $x$ 求导
5. 解出 $y^{\prime }$

例6 求下列函数的导数：
6. $y=x^x$
7. $y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$

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5. 隐函数求导法则

定义：由方程 $F(x,y)=0$ 确定的函数 $y=f(x)$ 称为隐函数。

求导法则：
对方程 $F(x,y)=0$ 两边关于 $x$ 求导，将 $y$ 视为 $x$ 的函数，解出 $y^{\prime }$。

例5 求下列隐函数的导数：

1. $y^2=2px$
2. $y=x\ln y$
3. $y^5+2y-x-3x^7=0$，求 ${y^{\prime }|}_{x=0}$
4. $x^2+xy+y^2=4$，求过点 (2,-2) 的切线方程

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6. 参数方程确定函数的求导法则

(1) 参数方程确定的函数
参数方程$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$ 消参 $\Rightarrow y=f(x)$
(2) 参数方程确定函数的求导法则
参数方程通过消参求函数$y=f(x)$不是很容易的事，下面建立一般的求导法则，并给出求导公式。

将$x=\phi (t)$的反函数$t={\phi }^{-1}(x)$代入$y=\psi (t)$得复合函数$y=\psi ({\phi }^{-1}(x))$，由复合函数求导法则和反函数求导法则得

$$\frac{dy}{dx}={\psi }^{\prime }(t)\times ({\phi }^{-1}(x){)}^{\prime }={\psi }^{\prime }(t)\times \frac{1}{{\phi }^{\prime }(t)}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$$

例7 求下列参数方程的导数：

1. $\{\begin{array}{l}x=a\cos t\\ y=a\sin t\end{array}$
2. $\{\begin{array}{l}x=\arctan t\\ y=\ln (1+t^2)\end{array}$

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二、综合杂例

例1 分段函数求导：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x-1& x\le 0\\ 2x& 0<x\le 1\\ x^2+1& 1<x\le 2\\ \frac{x}{2}+4& x>2\end{array}$$
求 $f^{\prime }(x)$

例2 求导：
$$y=3^x+x^3+x^x+3^3$$

例3 已知 $y=e^{f^2(x)}$，若 $f^{\prime }(a)=\frac{1}{2f(a)}$，证明 $y(a)=y^{\prime }(a)$

例4 求参数 $a,b$：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-1& x\le 1\\ ax+b& x>1\end{array}$$
在 $x=1$ 处可导

例5 已知 $f^{\prime }(-1)=3$，求：
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(-1-2h)-f(-1)}{h}$$

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作业

1.基本求导练习

1. 求下列函数的导数

1. $y=3x^2-x+5$
2. $y=\frac{1-x^3}{\sqrt{x}}$
3. $y=x\ln x$
4. $y=\frac{5x}{1+x^2}$

2. 求下列函数在给定点的导数

1. $y=\theta \sin \theta +\frac{1}{2}\cos \theta$，求 ${\frac{dy}{d\theta }|}_{\theta =\frac{\pi }{4}}$
2. $f(x)=\frac{3}{5-x}+\frac{x^2}{5}$，求 $f^{\prime }(0)$

3. 求下列函数的导数

1. $y=(1+x^2{)}^5$
2. $y=\sqrt{a^2-x^2}$
3. $y=\arctan (1+x^2)$
4. $y=\sin nx$
5. $y={\cos }^3\frac{x}{2}$
6. $y=\ln \tan \frac{x}{3}$
7. $y=\arccos \frac{1}{x}$
8. $y=\lg (x-\sqrt{x^2-a^2})$
9. $y=e^{-3x^2}$
10. $y=(\arcsin \frac{x}{2}{)}^2$

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2.进阶求导练习

4. 求下列函数的导数

1. $y=x\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$
2. $y=(\sin x{)}^{\tan x}$

5. 求下列方程所确定隐函数的导数 $\frac{dy}{dx}$

1. $x^2+y^2-xy=1$
2. $y=x+\ln y$
3. $\arcsin y=e^{x+y}$

6. 求曲线 $y^3+y^2=2x$ 在 (1,1) 处的切线方程与法线方程

7. 求下列参数方程所确定函数的导数

1. $\{\begin{array}{l}x=2t-t^2\\ y=3t-t^3\end{array}$，求 $\frac{dy}{dx}$
2. $\{\begin{array}{l}x=\theta (1-\sin \theta )\\ y=\theta \cos \theta \end{array}$，求 $\frac{dy}{dx}$

8. 讨论函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的性质
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1& x<0\\ k^2& x=0\\ kx{e}^x+1& x>0\end{array}$$
(1) $k$ 为何值时 $f(x)$ 有极限；
(2) $k$ 为何值时 $f(x)$ 连续；
(3) $k$ 为何值时 $f(x)$ 可导。

9. 求 $f(x)=|x^2-1|$ 的导数

10. 证明：

1. 可导的偶函数的导数为奇函数；
2. 可导的奇函数的导数是偶函数。