LLM模型的几何抽象：上文向量与Token距离的容量优化

摘要

本文提出一种LLM的几何视角抽象模型，将语言模型视为上文向量与Token向量的动态距离计算系统。通过引入"平均Token距离"作为模型容量的量化指标，探讨如何通过优化该指标而非单纯依赖数据规模来提升模型性能。

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一、LLM的抽象模型构建

1.1 核心假设

将LLM抽象为两类向量空间：

• 上文向量（Context Vector）：通过自注意力机制对历史Token的加权聚合（如softmax(QK^T)V）
• Token向量（Vocabulary Vector）：预定义词表中每个Token的嵌入表示

1.3 几何解释

• 模型容量 = n个Token向量在嵌入空间围成的"语义空间体积"
• 预测概率 = 上文向量到各Token向量的余弦距离的归一化结果

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二、模型容量的量化与瓶颈分析

2.1 容量量化公式

定义模型容量指标：
$$C=\frac{1}{n^2}\sum _{i,j}^{n}d(v_i,v_j)$$
其中：

• $d(v_i,v_j)$ ：Token向量间的余弦距离
• $n$：词表大小

2.2 现有模型的瓶颈

根据知识库[10][12]的研究：

瓶颈类型	具体表现	影响机制
词表固定	词表大小通常≤100K	嵌入空间维度固定导致容量受限
数据依赖	需百亿级token训练	通过数据扩张增加向量间距
计算限制	扩大词表需增加参数量	导致过拟合风险与训练成本激增

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三、主动优化方案：距离约束Loss设计

3.1 优化目标

设计双目标Loss函数：
$$L_{total}=L_{ce}+\lambda \cdot {\left(\frac{1}{C}-\frac{1}{C_{target}}\right)}^2$$
其中：

• $L_{ce}$：交叉熵损失（语言建模目标）
• lambda：平衡超参数
• $C_{target}$：目标容量阈值（如通过知识库[10]的FLOPs预测法设定）

3.2 实现步骤

# 示例伪代码
def custom_loss(predictions, targets):ce_loss = F.cross_entropy(predictions, targets)# 计算当前平均距离avg_dist = torch.mean(predictions)# 容量约束项capacity_loss = (1./avg_dist - 1./TARGET_CAPACITY)**2return ce_loss + LAMBDA * capacity_loss

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四、实验设计建议

4.1 对比实验

组别	训练数据量	Loss函数	预期结果
基线	100B tokens	标准CE	( C=0.6 )
实验	10B tokens	带约束Loss	( C>0.7 )

4.2 评估指标

• 容量验证：计算测试集的平均Token间距变化
• 性能验证：在GLUE基准测试中的零样本推理表现
• 效率验证：模型参数量与训练成本的对比

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五、结论与展望

1. 理论贡献：提出基于几何距离的LLM容量量化方法
2. 实践价值：通过主动优化减少对海量数据的依赖（如知识库[11]提到的参数效率技术）
3. 未来方向：
   • 结合知识库[9]的模型尺寸设计规律，探索词表-容量-参数的最优配置
   • 研究动态词表机制（如知识库[12]的Scaling Law理论）

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附：模型结构图

实验测算数据

E:\ChatTTS\venv\Scripts\python.exe F:\SamOutR2\ziti\train1.py 
Epoch [1/10], Loss: 8.2298 ---0.0267:   0%|          | 0/49 [00:05<?, ?it/s]Training complete.5.409388303756714
Epoch [1/10], Loss: 5.5861 ---0.1826:   0%|          | 0/49 [00:11<?, ?it/s]Training complete.11.95327615737915
Epoch [1/10], Loss: 4.3992 ---0.6836:   0%|          | 0/49 [00:36<?, ?it/s]Training complete.36.51292610168457
Epoch [1/10], Loss: 3.9794 ---1.4688:   2%|▏         | 1/49 [00:54<29:13, 36.54s/it]Training complete.54.03540897369385
Epoch [1/10], Loss: 2.9210 ---1.9062:   2%|▏         | 1/49 [01:15<29:13, 36.54s/it]Training complete.75.28897309303284
Epoch [1/10], Loss: 2.6437 ---2.2656:   2%|▏         | 1/49 [01:42<29:13, 36.54s/it]Training complete.102.89277052879333

• output mean 的绝对值 就是随着ce loss 减小而增大 证明了 上述 模型容量的推断 随着训练数据增加而增大，故而我们可以 直接让其增大。