剑指Offer（数据结构与算法面试题精讲）C++版——day21

题目一：数据流的第k大数字

    题目：请设计一个类型KthLargest，它每次从一个数据流中读取一个数字，并得出数据流已经读取的数字中第k（k≥1）大的数字。该类型的构造函数有两个参数：一个是整数k，另一个是包含数据流中开始数字的整数数组nums（假设数组nums的长度大于k）。该类型还有一个函数add，用来添加数据流中的新数字并返回数据流中已经读取的数字的第k大数字。
    例如，当k=3且nums为数组[4, 5, 8, 2]时，调用构造函数创建类型KthLargest的实例之后，第1次调用add函数添加数字3，此时已经从数据流中读取了数字4、5、8、2和3，第3大的数字是4；第2次调用add函数添加数字5时，则返回第3大的数字5。

    如果不考虑时间复杂度那么可以直接暴力处理，直接对每次加入的数据排序，固定返回第k个即可。但是由于这里题意中给出的是数据流，排序的话需要对所有数据处理，空间可能不够用，并且这类型场景都需要考虑时间复杂度。
    分析发现，这里存在类似于堆的结构，比如在大根堆中，可以很方便的找到一组动态变化的数中最大的一个，并且维护的时间复杂度较低。于是借鉴这里的思路，可以构建一个大小固定为k的优先级队列，这k个元素是这组数据中最大的k个元素，并且让这k个数构成一个小根堆，这样每次取出堆顶元素就可以得到第k大的数字。在维护上，C++中有可以使用的库，直接利用库来实现即可，最终得到如下代码：

void initHeap(priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> & minHeap,vector<int> arr,int fixSize) {for(int i=0,size=arr.size(); i<size; ++i) {if(minHeap.size()<fixSize) {minHeap.push(arr[i]);} else {int top=minHeap.top();if(arr[i]>top) {minHeap.pop();minHeap.push(arr[i]);}}}
}
int addHeap(priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> & minHeap,int num,int k) {int top=minHeap.top();if(num>top) {minHeap.pop();minHeap.push(num);}return minHeap.top();
}

题目二：出现频率最高的k个数字

    题目：请找出数组中出现频率最高的k个数字。例如，当k等于2时，输入数组[1, 2, 2, 1, 3, 1]，由于数字1出现了3次，数字2出现了2次，数字3出现了1次，因此出现频率最高的2个数字是1和2。

    因为这里提到了需要统计每个数的出现频次，因此立即会想到利用map构建hash表结构。现在的关键点在于如何保证拿到<数字，出现次数>的映射关系之后，返回出现频次最高的k个数。和前面的方法一样构建一个大小为k小根堆，如果当前小根堆中的元素个数小于k，直接加入到小根堆中，如果当前的已经有k个元素了，那么取出小根堆堆顶元素判断，如果待加入元素频次高于已有堆顶元素频次，那么新元素入堆。于是得到如下代码：

priority_queue<int, vector<int>,greater<int>> getTopKNum(vector<int> arr,int k) {vector<int> result;map<int,int> countNum;for(int i=0,size=arr.size();i<size;++i){countNum[arr[i]]++;}priority_queue<int, vector<int>,greater<int>> maxHeap;for(const auto& pair:countNum){int key=pair.first;int value=pair.second;if(maxHeap.size()<k){maxHeap.push(key);}else{if(value>maxHeap.top()){maxHeap.push(key);}}}return maxHeap;
}

    这里需要补充说明，由于这里小根堆中存储的都是<数字，出现次数>的键值key，因此构建的堆中频次只能确定堆顶频次最小。之后依次找出这k个结果的时候，由于小根堆的特点，所以是按照键值key导出的。不能够保证按照频次倒叙排列。由于题目没有对这k个数的输出顺序要求，所以这里直接频次乱序输出即可。如果还要求对这k个数按照频次倒叙输出应该怎么办呢？其实也不难实现，可以将问题简化成知道了一组<数字，出现次数>键值对，需要将这些键值对按照出现次数倒序排序。这样可以使用大根堆来实现，相当于将键值反向，按照出现的次数作为键，将原先的键作为值，由于出现相同次数的值可能对应多个键，因此使用数组存储。得到如下代码：

priority_queue<int, vector<int>> maxHeap;
while(!minHeap.empty()) {int key=minHeap.top();maxMap[countNum[key]].push_back(key);minHeap.pop();
}
priority_queue<int, vector<int>> maxHeap;
for(const auto& pair:maxMap) {int key=pair.first;maxHeap.push(key);
}
while(!maxHeap.empty()) {vector<int> values=maxMap[maxHeap.top()];for(int i=0,size=values.size(); i<size; ++i) {cout<<values[i]<<" ";}maxHeap.pop();
}

题目三：和最小的k个数对

    题目：给定两个递增排序的整数数组，从两个数组中各取一个数字u和v组成一个数对（u，v），请找出和最小的k个数对。例如，输入两个数组[1, 5, 13, 21]和[2, 4, 9, 15]，和最小的3个数对为（1，2）、（1，4）和（2，5）。

    由分析可知，这里的依旧可以按照题目一的方式来统计，由于k的数值不确定，可能k的值比较大，包括了两个数组中的所有可能。因此需要遍历两个数组的所有组合。需要考虑一个问题，这样的数对是否可能重复，比如两个数组分别为：[1,2,3]和[1,2,3]，两个数组都满足严格递增，答案是否定的，可以利用一个数组作为参照，比如这里固定第一个数组的第一个元素，扫描后面数组的所有元素构成组合，可以得到3种情况，之后偏移第一个数组的指向元素。由于这个过程中得到的数对第一个元素递增，并且在相同第一个元素下，第二个元素同样满足递增，因此最终所有可能的数对不可能重复。结合题目一，这里可以先构建一个大小为k的大根堆，如果一个元素小于根节点，那么说明这个元素需要应该进入k大根堆种替换，最终可以得到如下代码：

void getTopKMin(vector<int>arr1,vector<int> arr2,int k) {map<int,vector<Element>> numMap;priority_queue<Element,vector<Element>,customGreater> maxHeap;int size1=arr1.size(),size2=arr2.size();for(int i=0; i<size1; ++i) {for(int j=0; j<size2; ++j) {cout<<"当前探测："<<arr1[i]<<" "<<arr2[j]<<endl;if(maxHeap.size()<k) {maxHeap.push(Element(arr1[i],arr2[j]));} else if(sumElement(Element(arr1[i],arr2[j]))<sumElement(maxHeap.top())) {maxHeap.push(Element(arr1[i],arr2[j]));maxHeap.pop();}}}while(!maxHeap.empty()) {Element el=maxHeap.top();cout<<"("<<el.num1<<"，"<<el.num2<<")"<<" ";maxHeap.pop();}
}

    另外这里对于C++可以积累一个自定义节点的优先级队列构建方法，还能够自定义优先级队列的大根堆、小根堆比较方法：

struct  Element {int num1;int num2;Element(int a,int b):num1(a),num2(b) {}
};
long long sumElement(Element el) {return el.num1+el.num2;
}
struct customGreater {bool operator()(Element a, Element b) const {return sumElement(a) < sumElement(b);}
};
//用法
priority_queue<Element,vector<Element>,customGreater> maxHeap;

附录：源码gitee仓库

    考虑到有些算法需要模拟数据，如果全部放进来代码显得过长，不利于聚焦在算法的核心思路上。于是把所有的代码整理到了开源仓库上，如果想要看详细模拟数据，可在开源仓库自取：【凌空暗羽/剑指Offer-C++版手写代码】。

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