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1.9多元函数积分学

news 来源：原创 2025/4/29 6:17:52

引言

多元函数积分学是考研数学一的核心内容，涵盖三重积分、曲线积分、曲面积分及空间曲线积分。本文系统梳理4大考点，结合公式速查与典型示例，助你高效攻克积分难题！

考点一：三重积分计算与应用

1️⃣ 对称性

(1) 普通对称性

对称轴/面	条件	结论
关于 $x$ 轴对称	$f (x, - y, z) = - f (x, y, z)$	积分值为0（奇函数）
	$f (x, - y, z) = f (x, y, z)$	积分值为2倍上半区域积分
关于 $y$ 轴对称	$f (- x, y, z) = - f (x, y, z)$	积分值为0（奇函数）
	$f (- x, y, z) = f (x, y, z)$	积分值为2倍右半区域积分

示例：
计算 $\iiint_\Omega x y z \, dV$ ，其中 $\Omega$ 关于 $y$ 轴对称。
解：因 $f (- x, y, z) = (- x) yz = - x yz = - f (x, y, z)$ ，积分值为0。

(2) 轮换对称性

条件：积分区域 $\Omega$ 关于变量轮换对称（如 $\leftrightarrow y \leftrightarrow z$ ）。
结论：
$\iiint_\Omega x \, dV = \iiint_\Omega y \, dV = \iiint_\Omega z \, dV$
示例：
计算 $\iiint_\Omega (x + y + z) \, dV$ ，其中 $\Omega$ 为球体 $x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2$ 。
解：由轮换对称性得 $\iiint_\Omega x \, dV = \iiint_\Omega y \, dV = \iiint_\Omega z \, dV$ ，故原积分 $\iiint_\Omega x \, dV = 0$ （奇函数对称性）。

2️⃣ 计算方法

(1) 投影法（截面法）

步骤：

将积分区域投影到坐标平面（如 $x y$ 平面）。
对 $z$ 积分，转化为累次积分：
$\iiint_\Omega f(x,y,z) dV = \iint_D \left( \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) dz \right) dxdy$

示例：
计算 $\iiint_\Omega z \, dV$ ，其中 $\Omega$ 由 $z = x^2 + y^2$ 和 $z = 1$ 围成。
解：投影到 $x y$ 平面得 $x^2 + y^2 \leq 1$ ，积分变为
$\iint_D \left( \int_{x^2+y^2}^1 z \, dz \right) dxdy = \iint_D \frac{1}{2}(1 - (x^2 + y^2)^2) dxdy$

(2) 柱坐标与球坐标

坐标系	变量替换	体积元 $d V$	适用场景
柱坐标	$r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z$	$\, dr d\theta dz$	旋转对称区域（如圆柱、锥体）
球坐标	$\rho\sin\phi\cos\theta,\ y = \rho\sin\phi\sin\theta,\ z = \rho\cos\phi$	$\rho^2 \sin\phi \, d\rho d\phi d\theta$	球对称区域（如球体、半球）

示例：
计算 $\iiint_\Omega (x^2 + y^2) dV$ ，其中 $\Omega$ 为球体 $x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2$ 。
解：球坐标下 $x^2 + y^2 = \rho^2 \sin^2\phi$ ，积分变为
$\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R \rho^2 \sin^2\phi \cdot \rho^2 \sin\phi \, d\rho d\phi d\theta = \frac{4\pi}{5} R^5$

3️⃣ 应用

(1) 质心

公式：质心坐标 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ 为
$\bar{x} = \frac{ \iiint_\Omega x \rho(x,y,z) dV}{\quad \iiint_\Omega \rho(x,y,z) dV}$
示例：
求均匀球体 $\Omega: x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2$ 的质心。
解：因对称性， $\bar{x} = \bar{y} = \bar{z} = 0$ 。

(2) 转动惯量

公式：绕 $z$ 轴的转动惯量
$I_z = \iiint_\Omega (x^2 + y^2) \rho(x,y,z) dV$
示例：
求圆柱体 $x^2 + y^2 \leq R^2,\ 0 \leq z \leq h$ 绕 $z$ 轴的转动惯量。
解：
$I_z = \rho \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 \cdot r dr d\theta \cdot h = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 h$

考点二：曲线积分

1️⃣ 第一类曲线积分（对弧长积分）

物理意义：曲线上物体的质量（密度函数为 $f (x, y)$ ）。
计算方法：

参数方程法：
$\int_L f(x,y) ds = \int_a^b f(x(t), y(t)) \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} dt$
直角坐标法：
$\int_L f(x,y) ds = \int_{x_1}^{x_2} f(x, y(x)) \sqrt{1 + y'(x)^2} dx$
极坐标法：
$\int_L f(x,y) ds = \int_{x_1}^{x_2} f(rcos\theta, rsin\theta) \sqrt{r + r'^2} d\theta$
示例：
计算 $\int_L (x + y) ds$ ，其中 $L$ 为上半圆周 $x^2 + y^2 = R^2$ （ $\geq 0$ ）。
解：参数化为 $R\cos t,\ y = R\sin t$ （ $\leq t \leq \pi$ ），积分变为
$\int_0^\pi (R\cos t + R\sin t) \cdot R dt = R^2 \left( \sin t - \cos t \right) \bigg|_0^\pi = 2R^2$

2️⃣ 第二类曲线积分（对坐标积分）

物理意义：变力 $\vec{F} = P\vec{i} + Q\vec{j}$ 沿曲线 $L$ 所做的功。
计算方法：

参数方程法：
$\int_L P dx + Q dy = \int_a^b \left( P(x(t), y(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t) \right) dt$
格林公式：
$\oint_L P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy$
条件： $L$ 为分段光滑闭曲线， $D$ 为 $L$ 围成的区域，左手在圈内为正方向。
积分与路径无关

示例：
计算 $\int_L (x^2 - y) dx + (x + \sin y) dy$ ，其中 $L$ 为 $y = x^2$ 从 $(0, 0)$ 到 $(1, 1)$ 。
解：参数化为 $x = t,\ y = t^2$ （ $\leq t \leq 1$ ），积分变为
$\int_0^1 \left( t^2 - t^2 \right) dt + \left( t + \sin(t^2) \right) 2t dt = \int_0^1 2t \sin(t^2) dt = -\cos(1) + 1$

考点三：曲面积分

1️⃣ 第一类曲面积分（对面积积分）

物理意义：曲面状物体的质量（密度函数为 $f (x, y, z)$ ）。
计算方法：一投二代三定号
$\iint_\Sigma f(x,y,z) dS = \iint_D f(x,y,g(x,y)) \sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2} dxdy$
示例：
计算 $\iint_\Sigma (x + y + z) dS$ ，其中 $\Sigma$ 为上半球面 $\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$ 。
解：投影到 $x y$ 平面得 $x^2 + y^2 \leq R^2$ ，积分变为
$\iint_D (x + y + \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}) \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}} dxdy$

2️⃣ 第二类曲面积分（对坐标积分）

物理意义：流体通过有向曲面 $\Sigma$ 的流量（速度场为 $\vec{v} = P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k}$ ）。
计算方法：

直接算：一投二代三定号
轮换投影法
$\iint_\Sigma P dy dz + Q dz dx + R dx dy$
$=\iint_\Sigma (P,Q,R)(-z_x',-z_y',1)dxdy$ $=\iint_\Sigma (P,Q,R)(1,-x_y',-x_z')dydz$
$=\iint_\Sigma (P,Q,R)(-y_z',1,-y_x')dxdz$
高斯公式：
$\iint_\Sigma P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$
条件： $\Sigma$ 为闭合曲面外侧， $\Omega$ 为其围成的区域。

示例：
计算 $\iint_\Sigma x dy dz + y dz dx + z dx dy$ ，其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ 外侧。
解：由高斯公式得
$\iiint_\Omega (1 + 1 + 1) dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3$

考点四：空间曲线积分

1️⃣ 参数法

步骤：将曲线参数化为 $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ ，则
$\int_\Gamma P dx + Q dy + R dz = \int_a^b \left( P x'(t) + Q y'(t) + R z'(t) \right) dt$

示例：
计算 $\int_\Gamma y dx + z dy + x dz$ ，其中 $\Gamma$ 为螺旋线 $\cos t,\ y = \sin t,\ z = t$ （ $\leq t \leq 2\pi$ ）。
解：积分变为
$\int_0^{2\pi} (\sin t \cdot (-\sin t) + t \cdot \cos t + \cos t \cdot 1) dt = \pi$

2️⃣ 斯托克斯公式

公式：
$\oint_\Gamma P dx + Q dy + R dz = \iint_\Sigma \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dz dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy$
$\oint_\Gamma P dx + Q dy + R dz = \begin{vmatrix} dydz & dxdz& dxdy \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} cosα & cosβ & cosγ \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$
应用：将空间曲线积分转换为曲面积分。

示例：
验证斯托克斯公式对 $\Gamma$ （单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ ， $z = 0$ ）和 $\Sigma$ （平面 $z = 0$ 上的圆盘）的有效性。
解：左边积分 $\oint_\Gamma -y dx + x dy = 2\pi$ ，右边曲面积分 $\iint_\Sigma 2 dxdy = 2\pi$ ，等式成立。

公式速查表

类型	公式	应用场景
三重积分对称性	$\iiint_\Omega f(x,y,z) dV = 0$ （奇函数对称）	简化积分计算
柱坐标转换	$r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z$	旋转对称区域
高斯公式	$\iint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_\Omega \nabla \cdot \vec{F} dV$	闭合曲面的通量计算
斯托克斯公式	$\oint_\Gamma \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_\Sigma (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}$	空间曲线积分转换