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蓝桥杯 C++ b组统计子矩阵双指针+一维前缀和

news 来源：原创 2025/4/28 14:56:41

题目大意：给定一个 N×M 的矩阵 A，请你统计有多少个子矩阵 (最小1×1，最大N×M) 满足子矩阵中所有数的和不超过给定的整数 K？

前言：这题很容易想到二维前缀和优化，然后枚举子矩阵，但这样时间复杂度为 $O(N^{4})$ ，而题中N最大500，大概就是 $1.25*10^{8}$ ，但我们一般要把操作次数维护到 $10^{7}$ ~ $10^{8}$ 之间为最佳！但这样以及能过70%的数据了QWQ

解题思路：（双指针+一位前缀和）
我们整体的优化思路是：枚举子矩阵的上下边界，这是双层循环，然后在每个固定的边界里，用左右指针l,r来查找状态下满足的子矩阵个数，这么说可能比较抽象，下面用通俗一些的话来解释吧！

1.首先，我们定义了上边界i，下边界j，可以理解为一个我们在找子矩阵的时候，我们先把它的上下给定住！比如上边界为1，下边界为N，那这个情况下其实就是原矩阵（N×M）的上边界和下边界。

2.但是！虽然上下边界定了，但左右还没定呀，所以，这个时候就要引入今天的主角“双指针”登场了，我们定义左右指针L，R（为了方便看，用大写表示），前面定了上下边界，我们再用L和R来定左右，就可以定一个矩阵了。（大脑里面应该能想想出来，不行的话用笔画一下）

3.题中要求的是子矩阵所有数的和<=K，而一开始L=R=1，我们是要遍历R到右端点，并且再这个过程中计算这个围成的矩阵和是否已经超过了K，超过了，那么就要让L++，并且对于每一个移动的R，应该都是可以固定一个L是其矩阵刚好<=K，那么此时L与R围成的矩阵的恰好满足，再次强调：我们这里是先定的R，然后对于每一个R都能找到一段恰好<=K的区间，然后这个LR围成的区间中，我们找的子区间是以R为有边界(因为我们是遍历的R)，此时若以L右边的元素为左边界，比如L+1，那么也肯定满足，比如L=0，中间有个1，R=2，那么对于[L，R]区间，我们此次计入的子区间就是012，12，2；

4.关于一些计算的，就是利用一维前缀和，并不难理解，结合代码直接看应该更易理解，就不在这里阐述了，把第三条看明白基本此题的思路已经很明确了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;

const int N = 505;

int n,m,k,a[N][N];
ll ans;

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    
    cin>>n>>m>>k;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
            a[i][j]+=a[i-1][j];//第j列的前缀和
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)//上边界
    {
        for(int j=i;j<=n;j++)//下边界
        {
            for(int l=1,r=1,sum=0;r<=m;r++)//右指针的移动
            {
                sum+=a[j][r]-a[i-1][r];//j表示下边界，i表示上边界，r就是当前的列
                while(sum>k)
                {
                    sum-=a[j][l]-a[i-1][l]; 
                    l++; 
                }
                ans+=r-l+1;
            }
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}