《灵珠觉醒：从零到算法金仙的C++修炼》卷三·天劫试炼（45）血海轮回阵 - Floyd-Warshall 多源最短路径

《灵珠觉醒：从零到算法金仙的C++修炼》卷三·天劫试炼（45）血海轮回阵 - Floyd-Warshall 多源最短路径

哪吒在数据修仙界中继续他的修炼之旅。这一次，他来到了一片神秘的血海轮回阵，阵中血液般的液体在沟渠中流动，形成复杂的路径。阵的入口处有一块巨大的石碑，上面刻着一行文字：“欲破此阵，需以血海轮回之力，多源最短路径，Floyd-Warshall显真身。”

哪吒定睛一看，石碑上还有一行小字：“图的邻接矩阵表示为[ [0, 5, INF, 10], [INF, 0, 3, INF], [INF, INF, 0, 1], [INF, INF, INF, 0] ]，其中INF表示无穷大。所有节点之间的最短路径为：0到1为5，0到2为8，0到3为9，1到2为3，1到3为4，2到3为1。”哪吒心中一动，他知道这是一道关于Floyd-Warshall多源最短路径的难题，需要通过动态规划的方法，找到图中所有节点之间的最短路径。

暴力解法：血海轮回的初次尝试

哪吒心想：“要找到所有节点之间的最短路径，我可以多次运行Dijkstra算法。”他催动血海轮回之力，为每个节点分别运行Dijkstra算法，试图找到所有节点之间的最短路径。

void floydWarshall(vector<vector<int>>& dist) {
   
    int n = dist.size();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
   
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
   
            if (i == j) continue;
            if (dist[i][j] == INT_MAX) continue;
            for (int k = 0; k < n; ++k) {
   
                if (dist[i][k] != INT_MAX && dist[k][j] != INT_MAX) {
   
                    dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]);
                }
            }
        }
    }
}

哪吒成功地找到了所有节点之间的最短路径，但血海轮回的光芒却黯淡了下来。他意识到，这种方法虽然可行，但效率低下，尤其是当图的节点数量很多时，灵力消耗巨大。

C++语法点

在C++中，Floyd-Warshall算法涉及到三维循环和动态规划。以下是一些重要特性：

• 三维循环：

  • 外层循环遍历中间节点。
  • 中层循环遍历起点节点。
  • 内层循环遍历终点节点。

• 动态规划：

  • 通过状态转移方程dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])更新最短路径。

高阶优化：动态规划的智慧

哪吒元神中突然浮现金色铭文——「血海轮回阵，Floyd-Warshall显真身」。他意识到，可以通过Floyd-Warshall算法优化多源最短路径的计算过程。

哪吒决定使用Floyd-Warshall算法，通过动态规划的方法，逐步引入中间节点，更新所有节点之间的最短路径。通过这种方式，他成功地找到了所有节点之间的最短路径，而且灵力消耗大幅减少。

void floydWarshall(vector<vector<int>>& dist