5.3 位运算专题：LeetCode 371. 两整数之和

1. 题目链接

LeetCode 371. 两整数之和

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2. 题目描述

不使用运算符 + 和 -，计算两个整数 a 和 b 的和。
示例：

• 输入：a = 1, b = 2 → 输出：3
• 输入：a = -1, b = 1 → 输出：0

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3. 示例分析

1. 正数相加：
   • a = 3, b = 5 → 二进制 0011 + 0101 → 结果 1000（十进制 8）。
2. 负数与正数相加：
   • a = -1（二进制补码全 1），b = 1 → 结果 0。
3. 进位传递：
   • a = 15（1111），b = 1 → 结果 16（10000）。

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4. 算法思路

核心思想：位运算模拟加法器

1. 无进位相加：
   • 使用异或运算 a ^ b 得到无进位相加的结果。
   • 异或的特性：0+0=0, 1+1=0（无进位），1+0=1。
2. 计算进位：
   • 使用与运算 a & b 找到需要进位的位，左移一位得到进位值。
3. 循环处理进位：
   • 将进位值与无进位和重复上述操作，直到进位为 0。

数学原理：

• 加法可分为两部分：无进位和 x = a ^ b 和进位 carry = (a & b) << 1。
• 最终结果为 x + carry，但需要通过循环将进位合并到结果中。

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5. 边界条件与注意事项

1. 负数处理：
   • 使用 unsigned int 转换进位，避免有符号数左移的未定义行为。
2. 循环终止条件：
   • 当进位 carry 为 0 时，结束循环。
3. 符号位兼容性：
   • 补码表示下，该算法天然支持负数运算。

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6. 代码实现

class Solution 
{
public:
    int getSum(int a, int b) 
    {
        while (b) 
        {
            int x = a ^ b;         // 无进位相加
            unsigned int carry = (unsigned int)(a & b) << 1; // 计算进位
            a = x;
            b = carry;
        }
        return a;
    }
};

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与暴力枚举法的对比

方法	时间复杂度	空间复杂度	核心思想
位运算法	O(1)	O(1)	模拟硬件加法器，逐位处理进位
暴力枚举法	O(n)	O(1)	通过循环增/减 1 逐次逼近结果

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位运算法的优势

1. 时间复杂度最优：最多循环 32 次（32 位整数），时间复杂度为常数。
2. 无额外空间：仅需临时变量存储中间结果。
3. 支持负数运算：利用补码特性，天然兼容负数。

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分步解析

1. 初始状态：
   • a = 3（0011），b = 5（0101）。
2. 第一次迭代：
   • x = 3 ^ 5 = 6（0110）。
   • carry = (3 & 5) << 1 = 1 << 1 = 2（0010）。
3. 第二次迭代：
   • x = 6 ^ 2 = 4（0100）。
   • carry = (6 & 2) << 1 = 2 << 1 = 4（0100）。
4. 第三次迭代：
   • x = 4 ^ 4 = 0。
   • carry = (4 & 4) << 1 = 4 << 1 = 8（1000）。
5. 第四次迭代：
   • x = 0 ^ 8 = 8。
   • carry = (0 & 8) << 1 = 0。
6. 终止循环：返回 a = 8。

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总结

位运算法的核心在于通过异或和与运算，逐层处理进位，最终合并结果。相较于暴力法（若允许使用 ++ 运算符），其时间复杂度从 O(n) 优化至 O(1)，尤其适合大整数运算。该算法不仅是计算机底层加法器的实现原理，也是解决“禁止使用运算符”类问题的经典范式。

应用扩展：

• 实现减法：a - b = a + (-b)，需先计算 -b 的补码（~b + 1）。
• 判断溢出：通过检查进位是否影响符号位。

关键点：

• 理解补码和位运算的底层逻辑。
• 循环终止条件与进位的正确处理。