splay

$splay$ 是一种平衡树，但是并不完全平衡。

它凭借一系列操作使得树趋近于平衡，所以与 $AVL$ 比起来，时间可能没那么快，但是 $splay$ 可以应用到的地方很多，比如说区间翻转，这是 $AVL$ 无法做到的。

并且LCT要用到splay。

规定

• $tree[x].son[0/1]$ 表示 $x$ 的左右儿子是谁。
• $tree[x].size$ 表示以 $x$ 为根的子树大小。
• $tree[x].fa$ 表示 $x$ 的父亲节点。

原理

旋转

$splay$ 也是利用旋转来维护的，它旋转时传的是儿子节点，然后将儿子节点转到父亲节点。

旋转时有两种情况，一种是我是你的左儿子，一种是我是你的右儿子，但其实两种情况分析起来本质上都差不多，可以打在一起。（不用像 $AVL$ 一样分开）

代码

int pdd(int x) { return tree[tree[x].fa].son[1] == x; }//x是它父亲的哪个儿子
void rotato(int x) {
    int y = tree[x].fa, z = tree[y].fa, p = pdd(x);
    tree[z].son[pdd(y)] = x;
    tree[x].fa = z, tree[y].fa = x;
    tree[y].son[p] = tree[x].son[p ^ 1], tree[tree[x].son[p ^ 1]].fa = y;
    tree[x].son[p ^ 1] = y;
    updata(y), updata(x);//更新信息
}

splay

$splay$ 肯定有 $splay$ 操作。

$splay(x,y)$ 就是用来将 $x$ 转成 $y$ 的儿子。

用到了旋转操作。

代码

bool pd(int x, int y) { return tree[x].fa != y; }
void splay(int x， int goal) {
    push(x);//因为有时候要区间翻转，这个用来用来下传翻转标记，如果题目没有翻转可以不用
    for (int y; pd(x, goal); rotato(x)) {
        y = tree[x].fa;
        if (pd(y, goal))//用来加快程序速度，删除对程序正确性不会有任何影响
            rotato(pdd(y) == pdd(x) ? y : x);
    }
    if (!goal)
    	root = x;
}

查找，删除的操作都可以参照AVL来做，所以不再叙述。（可以看看我的另一篇博客）

翻转

我们来看看翻转操作如何实现。

我们假设要将区间 $l,r$ 翻转，我们设 $l^{\prime },r^{\prime }$ 分别为 $l$ 位置的左边， $r$ 位置的右边。

则我们可以先将 $l$ 节点 $splay$ 到根节点，再将 $r$ 节点 $splay$ 到根节点的右儿子。

此时 $r$ 节点的左子树就是我们要翻转的区间。

由于平衡树的性质，我们只需要将该子树的每个节点的左右儿子交换，便可翻转整个区间。

此时我们前面的 $splay$ 中的 $push$ 就是用来将翻转标记翻转下来。

代码

void push(int x) {
    if (tree[x].fa)
        push(tree[x].fa);
    pushdown(x);
}
void reverse(int l, int r) { //此时的l,r就是l',r'
    splay(l, 0), splay(r, l), tree[tree[r].son[0]].flag ^= 1;
}

此时 $splay$ 的基本操作就讲完了。