今日一记：五人分鱼与医院值班推理
今天来研究这两个问题：
1. 医院值班逻辑推理问题
核心问题：七位医生（A-G）需在一周内每天安排一人值班，需满足四项条件，且已知F在星期四值班
。 算法设计特点：
- 约束条件建模：需将条件转化为数学关系（如A=C+1、D=E+2、B=G-3等），并构建变量间的逻辑依赖。
- 穷举与剪枝结合：由于变量取值有限（7天），采用嵌套循环遍历所有可能排列，但通过条件筛选快速排除无效组合（如F固定为周四，B与G的差值约束）。
- 空间映射优化：将医生与日期映射为数组索引，通过位置关系直接验证条件（如F在B、C中间需满足
B < F < C或C < F < B）。 关键难点：条件间存在交叉依赖（如B的时间影响G，G又可能影响其他医生），需保证多条件同时满足。
/*** @file hospital_schedule.c* @brief 医院值班逻辑推理问题：满足约束条件的七医生排班求解*/#include <stdio.h> // 标准输入输出库（用于printf）
#include <stdbool.h> // 布尔类型支持（用于bool类型）#define DOCTOR_COUNT 7 // 医生总数
#define DAYS 7 // 一周天数
#define THURSDAY_INDEX 3 // 星期四对应的数组索引（0=周一，3=周四）// 医生编号枚举定义（A=0, B=1, ..., G=6）
typedef enum { A, B, C, D, E, F, G // 自动分配从0开始的整数值
} Doctor;/*** @brief 验证当前排班是否满足所有约束条件* @param pos 数组，pos[doctor]表示该医生的值班日期索引（0-6对应周一到周日）* @return bool 满足条件返回true，否则false*/
bool validate_conditions(const int pos[]) {// 约束1: A的值班日期比C晚1天（A的位置等于C的位置+1）if (pos[A] != pos[C] + 1) return false;// 约束2: D的值班日期比E晚2天（D的位置等于E的位置+2）if (pos[D] != pos[E] + 2) return false;// 约束3: B的值班日期比G早3天（B的位置等于G的位置-3）if (pos[B] != pos[G] - 3) return false;// 约束4: F在星期四值班（直接检查固定位置）if (pos[F] != THURSDAY_INDEX) return false;// 约束5: F在B和C中间（两种情况：B < F < C 或 C < F < B）if (!((pos[B] < pos[F] && pos[F] < pos[C]) || (pos[C] < pos[F] && pos[F] < pos[B]))) {return false;}return true; // 所有条件均满足
}/*** @brief 递归生成医生排列并验证条件（回溯算法）* @param doctors 当前已分配的医生数组，doctors[day]表示该天的值班医生* @param used 数组标记已使用的医生，used[doc]=true表示该医生已被安排* @param depth 当前递归深度（0-6对应7天，depth表示正在安排第几天）*/
void generate_schedule(int doctors[], bool used[], int depth) {// 递归终止条件：已安排完所有7天if (depth == DAYS) {int pos[DOCTOR_COUNT] = {0}; // 创建医生->日期的反向映射数组for (int day = 0; day < DAYS; day++) {// 将排班数据转换为pos数组：pos[医生编号] = 值班日期pos[doctors[day]] = day;}// 验证当前排班是否满足所有约束条件if (validate_conditions(pos)) {// 打印有效排班结果printf("Valid Schedule:\n");const char* days[] = {"Mon", "Tue", "Wed", "Thu", "Fri", "Sat", "Sun"};for (int i = 0; i < DAYS; i++) {// 输出每天对应的医生字母（A+编号的ASCII转换）printf("%s: Doctor %c\n", days[i], 'A' + doctors[i]);}}return; // 结束当前递归分支}/*--- 剪枝策略：星期四必须安排医生F ---*/if (depth == THURSDAY_INDEX) {// 如果F尚未被安排if (!used[F]) {doctors[depth] = F; // 星期四强制安排Fused[F] = true; // 标记F为已使用generate_schedule(doctors, used, depth + 1); // 递归安排下一天used[F] = false; // 回溯：重置F的使用标记}return; // 结束当前分支（星期四只能安排F）}/*--- 生成其他日期的排列 ---*/for (int doc = 0; doc < DOCTOR_COUNT; doc++) {// 跳过已使用的医生和星期四的F（F已在剪枝策略中处理）if (!used[doc] && doc != F) {doctors[depth] = doc; // 尝试安排当前医生到depth这一天used[doc] = true; // 标记该医生为已使用generate_schedule(doctors, used, depth + 1); // 递归安排下一天used[doc] = false; // 回溯：重置该医生的使用标记}}
}int main() {int doctors[DAYS] = {0}; // 初始化每天的值班医生数组（0-6对应A-G）bool used[DOCTOR_COUNT] = {false}; // 初始化医生使用标记数组（全部未使用）generate_schedule(doctors, used, 0); // 从第0天（周一）开始生成排列return 0; // 程序正常退出
}输出结果：
2. 五人分鱼逆向递推问题
核心问题：五人分鱼每次扔掉1条后平分，求初始最少鱼数使五次操作后剩1条
。 算法设计特点：
- 逆向数学递推：从最后一步（E分鱼后剩1条）逆推，利用公式
x_n = (x_{n+1} * 5)/4 + 1逐层计算初始值。 - 模运算优化：通过观察发现每次分鱼后剩余数需满足
(x-1) % 5 == 0，仅需验证特定步长（如从1开始，步长5）的数值。 - 终止条件明确：当逆推至初始值满足五次操作均为整数时终止，无需遍历全部可能性。 关键难点：正向暴力枚举效率低，逆向递推需找到递推公式的数学规律。
/*** @file fish_distribution.c* @brief 五人分鱼逆向递推问题：求解满足条件的最小初始鱼数*/#include <stdio.h> // 标准输入输出（printf）
#include <stdbool.h> // 布尔类型支持（bool, true, false）#define PEOPLE_COUNT 5 // 分鱼人数（A、B、C、D、E）/*** @brief 验证给定初始鱼数是否满足五次分鱼的条件* @param fish 待验证的初始鱼数* @return bool 满足所有分鱼条件返回true，否则false*/
bool is_valid(int fish) {int temp = fish; // 保存当前鱼数状态，避免修改原值for (int i = 0; i < PEOPLE_COUNT; i++) { // 模拟五人依次分鱼// 每次分鱼前必须满足：当前鱼数减1后能被5整除if ((temp - 1) % 5 != 0) { return false; // 不满足条件立即返回失败}// 计算分鱼后剩余量：(当前鱼数-1)后分成5份，拿走1份，剩余4份temp = (temp - 1) / 5 * 4; }// 最终检查：经过五轮分鱼后，剩余鱼数至少为1（题目隐含条件）return temp >= 1;
}/*** @brief 寻找满足条件的最小初始鱼数* @return int 返回最小鱼数，无解时返回-1（实际上此问题有解）*/
int find_min_fish() {int fish = 1; // 初始鱼数从1开始试探（最小可能值）while (true) { // 无限循环直到找到解if (is_valid(fish)) { return fish; // 找到符合条件的最小值}// 关键优化：每次分鱼前鱼数必须满足fish ≡1 mod5// 因此只需检查形如5k+1的数，步长设为5加速搜索fish += 5; }
}int main() {// 计算并打印最小初始鱼数int min_fish = find_min_fish(); if (min_fish > 0) {// 输出结果：3121（五人分鱼经典问题的解）printf("Minimum initial fish: %d\n", min_fish); } else {printf("No solution found.\n"); // 理论上不会执行此分支}return 0;
}输出结果：
| 对比维度 | 医院值班问题 | 五人分鱼问题 |
|---|---|---|
| 问题类型 | 约束满足问题（CSP） | 数论递推问题 |
| 核心算法 | 穷举法+条件剪枝 | 逆向数学递推+模运算优化 |
| 时间复杂度 | O(n^4)（多层嵌套循环） 3 | O(k)（k为满足条件的最小值） 6 |
| 空间复杂度 | O(1)（仅需存储当前排列） | O(1)（仅需存储递推中间值） |
| 条件处理方式 | 显式逻辑判断（if语句过滤） | 隐式数学公式推导（递推公式） |
| 适用场景 | 多变量、多交叉约束的排列问题 | 单变量、线性递推的数学问题 |
| 优化策略 | 固定已知变量（如F在周四）减少搜索空间 | 利用模运算缩小候选数范围 |
三、总结
-
算法设计差异：
- 医院值班问题依赖逻辑推理与排列组合，需通过显式条件判断快速剪枝，适合处理多变量交叉约束的场景。
- 五人分鱼问题依赖数学建模与递推公式，通过逆向推导将复杂操作转化为线性计算，适合单变量递推优化。
-
效率与复杂度：
- 医院值班问题的嵌套循环导致较高时间复杂度，但通过固定变量（如F）可显著减少计算量
- 五人分鱼问题的逆向递推避免无效枚举，数学优化使其效率远高于正向暴力搜索
-
方法论启示：
- 约束类问题优先考虑变量间的逻辑关系，利用剪枝或回溯减少搜索空间。
- 递推类问题优先寻找数学规律（如模运算、递推公式），将操作转化为数值计算。