20250418 一个正定矩阵的引理

引理：给定任意 $\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^3$ 和任意正交矩阵$\mathbf{R}$（即 ${\mathbf{R}}^T\mathbf{R}=\mathbf{I}$），则有
$${\mathbf{R}}^T(\mathbf{R}\mathbf{w}{)}^{\times }\mathbf{R}={\mathbf{w}}^{\times }$$

证明：$\mathbf{R}$ 为正交矩阵，那么可以理解为一种旋转矩阵，因此有 $$\mathbf{R}(\mathbf{w}\times \mathbf{l})=(\mathbf{R}\mathbf{w})\times (\mathbf{R}\mathbf{l})$$那么$$\mathbf{w}\times \mathbf{l}={\mathbf{R}}^{-1}(\mathbf{R}\mathbf{w})\times (\mathbf{R}\mathbf{l})$$进一步$$\mathbf{w}\times \mathbf{l}={\mathbf{R}}^T(\mathbf{R}\mathbf{w})\times (\mathbf{R}\mathbf{l})$$考虑到叉乘算子的特性，有$${\mathbf{w}}^{\times }\mathbf{l}={\mathbf{R}}^T(\mathbf{R}\mathbf{w}{)}^{\times }\mathbf{R}\mathbf{l}$$因为该式对于任意 $\mathbf{l}\in {\mathbb{R}}^3$ 均成立，那么$${\mathbf{R}}^T(\mathbf{R}\mathbf{w}{)}^{\times }\mathbf{R}={\mathbf{w}}^{\times }$$