LeetCode 热题 100_乘积最大子数组（88_152_中等_C++）(动态规划)

题目描述：

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续 子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

测试用例的答案是一个 32-位 整数。

输入输出样例：

示例 1：
输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。

示例 2：

输入: nums = [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

提示：
1 <= nums.length <= 2 * 10⁴
-10 <= nums[i] <= 10
nums 的任何子数组的乘积都 保证 是一个 32-位 整数

题解：

解题思路：

思路一（暴力破解法(双重循环)）：

1、计算所有的子数组的乘积，记录其中乘积的最大值，每个子数组的范围为 left~right(left 和 right 代表数组下标)。
2、复杂度分析：
① 时间复杂度：O(n²)，n代表数组中元素的个数，使用了双重循环。
② 空间复杂度：O(1)

思路二（动态规划）：

1、因数组中的元素既有正数又有负数，这样我们需要分情况讨论（由于负数的存在，当前最小乘积在遇到负数时可能会转为最大乘积，从而有可能影响最终的最大值。）。此解法通过动态维护当前最大乘积和最小乘积来有效地解决问题。

四种情况如下：
假设有nums=[a,b]，假设a！=0，b！=0。

1. a>0,b>0 乘积最大为 a*b。
2. a>0,b<0 乘积最大为 a。
3. a<0,b>0 乘积最大为 b。
4. a<0,b<0 乘积最大为 a*b。

例：nums = [2,3,-2,4]
之前的最大乘积为：pre_max，之前的最小乘积为：pre_min
当前的最大乘积为：cur_max，当前的最小乘积为：cur_min

① i=0 ，初始化 pre_max = pre_min = cur_max = cur_min = nums[ 0 ] = 2 。
② i=1 ，cur_max = max{nums[ 1 ]，nums[ 1 ] × pre_min，nums[ 1 ] × pre_max } =6, cur_min = min{nums[ 1 ]，nums[ 1 ] × pre_min，nums[ 1 ] × pre_max} = 3。
③ i=2，cur_max = max{nums[ 2 ]，nums[ 2 ] × pre_min，nums[ 2 ] × pre_max } = -2，cur_min = min{nums[ 2 ]，nums[ 2 ] × pre_min，nums[ 2 ] × pre_max} = -12。
④ i=3，cur_max = max{nums[ 3 ]，nums[ 3 ] × pre_min，nums[ 3 ] × pre_max } = 4，cur_min = min{nums[ 3 ]，nums[ 3 ] × pre_min，nums[ 3 ] × pre_max} = -48。
在此过程中记录最大的 cur_max=6 最为乘积最大子数组。

3、复杂度分析
① 时间复杂度：O(n)，n代表数组中元素的个数。因只遍历一遍数组。
② 空间复杂度：O(1)。

代码实现

代码实现（思路一（暴力破解法））：

class Solution1 {
public:// 函数：maxProduct，计算给定数组中子数组的最大乘积int maxProduct(vector<int> &nums) {// 初始化答案为最小的整数值，后续将通过比较更新答案int ans = INT_MIN;// 外层循环：从每个可能的子数组起始位置开始for (int left = 0; left < nums.size(); left++) {// 初始化当前子数组的乘积为 1int cur_product = 1;// 内层循环：从 left 位置开始向右遍历，计算当前子数组的乘积for (int right = left; right < nums.size(); right++) {// 更新当前子数组的乘积cur_product *= nums[right];// 更新答案为当前子数组的乘积和之前答案的较大值ans = max(cur_product, ans);}}// 返回找到的最大乘积return ans;}
};

代码实现（思路二（哈希表））：

class Solution2 {
public:// 函数：maxProduct，计算给定数组中子数组的最大乘积int maxProduct(vector<int> &nums) {// 初始化答案为数组的第一个元素long long ans = nums[0];// 初始化当前最大乘积和最小乘积，均为数组的第一个元素long long cur_max = nums[0], cur_min = nums[0];// 从第二个元素开始遍历数组for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {// 保存前一次的最大乘积和最小乘积long long pre_max = cur_max, pre_min = cur_min;// 计算当前最大乘积：// 1. nums[i] 本身// 2. nums[i] * 前一次的最大乘积// 3. nums[i] * 前一次的最小乘积cur_max = max(max((long long)nums[i], nums[i] * pre_max), (long long)nums[i] * pre_min);// 计算当前最小乘积：// 1. nums[i] 本身// 2. nums[i] * 前一次的最大乘积// 3. nums[i] * 前一次的最小乘积cur_min = min(min((long long)nums[i], nums[i] * pre_max), (long long)nums[i] * pre_min);// 更新答案为当前最大乘积和之前答案的较大值ans = max(ans, cur_max);}// 返回找到的最大乘积return ans;}
};

以思路二为例进行调试

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;class Solution2 {
public:// 函数：maxProduct，计算给定数组中子数组的最大乘积int maxProduct(vector<int> &nums) {// 初始化答案为数组的第一个元素long long ans = nums[0];// 初始化当前最大乘积和最小乘积，均为数组的第一个元素long long cur_max = nums[0], cur_min = nums[0];// 从第二个元素开始遍历数组for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {// 保存前一次的最大乘积和最小乘积long long pre_max = cur_max, pre_min = cur_min;// 计算当前最大乘积：// 1. nums[i] 本身// 2. nums[i] * 前一次的最大乘积// 3. nums[i] * 前一次的最小乘积cur_max = max(max((long long)nums[i], nums[i] * pre_max), (long long)nums[i] * pre_min);// 计算当前最小乘积：// 1. nums[i] 本身// 2. nums[i] * 前一次的最大乘积// 3. nums[i] * 前一次的最小乘积cur_min = min(min((long long)nums[i], nums[i] * pre_max), (long long)nums[i] * pre_min);// 更新答案为当前最大乘积和之前答案的较大值ans = max(ans, cur_max);}// 返回找到的最大乘积return ans;}
};int main(int argc, char const *argv[])
{vector<int> nums={1,0,-5,2,3,-8,-9};Solution2 s;cout<<s.maxProduct(nums);return 0;
}

LeetCode 热题 100_乘积最大子数组（88_152)原题链接
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