[数学] 挑战nbc

题目描述

$Abwad$ 是一名有志向的优秀 OI 少年。遗憾的是，由于高能宇宙射线的影响，他不幸在 NOI 中滚粗。不过，$Abwad$ 才高一，还有许许多多的机会。在长时间的刻苦学习之后，他实力大增，并企图撼动 OI 界魔王 $nbc$ 的权威。 这一天，$Abwad$ 决定挑战 $nbc$。挑战的项目是 OI 界一种常见的运动：造题，比的就是谁造得又快又好。$Abwad$ 现在拿到了难度为 $1,2,3,\dots \dots n$ 的 $n$ 道原题，每次操作他可以挑出任意两道题，并使用一种叫做 NOIP二合一 的方法合成一道难度为其平均值的题。$Abwad$ 希望在操作了 $n-1$ 次之后，最后剩下的那道题难度最大。

输入格式

输入仅一行一个整数，表示 $n$。

输出格式

输出一行仅一个整数 $ans$，若答案的最简分数为 $x/y$，$ans$ 应为最小的满足 $ans\times y\mathrm{mod}1000000007=x$ 的整数。（其实就是分数取模辣）

样例

样例输入1：

2

样例输出1：

500000005 

样例1解释：
显然答案为 $3/2$，$500000005\times 2\mathrm{mod}1000000007=3$。

数据范围

测试点编号	$n$
$1$	$n\le 3$
$2$	$n\le 5$
$3$	$n\le 10$
$4,5$	$n\le 100$
$6,7,8$	$n\le 100000$
$9,10$	$n\le 10^9$

提示

可能用到的知识：
费马小定理：当 $p$ 是质数时，$a^{p-1}\mathrm{mod}p=1$。

题解

前置知识：分数取模。

若 $t$ 为质数且 $x\times p\mathrm{mod}t=q$，则 $x=q\times p^{t-2}\mathrm{mod}t$。

我们来推导一下。
由费马小定理可知，$p^{t-1}\mathrm{mod}t=1$，原式两边乘上 $p^{t-2}$，得到 $x=q\times p^{t-2}\mathrm{mod}t$。
所以我们就推完了。

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显然，$1$ 到 $n$ 应该按顺序合并。
假设有三个数 $a,b,c$，先合并 $a,b$，再合并 $c$，生成的数为 $((a+b)/2+c)/2=a/4+b/4+c/2$。当然是让 $c$ 更大，合并出来的数就越大。

由于最后算的不是合并的数，而是分数取模，所以先把式子写出来：$a_1/2^{n-1}+a_2/2^{n-1}+a_3/2^{}+\dots \dots +a_n/2$。通分后分母是 $2^{n-1}$，分子是 $1+2+2\times 3+4\times 4+8\times 5+\dots +2^{n-1}\times n$。
此时如果直接写 $O(n)$ 的暴力就有 $80$ 分。

考虑进行优化。
观察分子：$1+2+2\times 3+4\times 4+8\times 5+\dots +2^{n-2}\times n$。
$1,2,4,\dots ,2^{n-2}$，显然是一个等比数列，值为 $2\times 2^{n-2}-1=2^{n-1}-1$。

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接下来的是我的考场做法。

把分子拆分开来看：
$1+2+4+\dots +2^{n-2}=2^{n-1}-1$
$3\times (2+4+\dots +2^{n-2})=3\times (2^{n-1}-2)$
$0\times (4+8+\dots +2^{n-2})=0$
$8+16+\dots +2^{n-2}=2^{n-1}-8$
$\dots$
$2^{n-2}=2^{n-1}-2^{n-2}$

把所有的式子加起来：$(n-2)\times 2^{n-1}-(1+2+8+\dots +2^{n-2})+2\times (2^{n-1}-2)=(n-1)\times 2^{n-1}+1$。

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正解：

观察到分子是一个带权等比数列，考虑使用错位相减法。

设 $S=1\times 2^0+2\times 2^0+3\times 2^1+4\times 2^2+\dots +n\times 2^{n-2}$。

则 $2S=1\times 2^1+2\times 2^1+3\times 2^2+4\times 2^3+\dots +n\times 2^{n-1}$。

$2S-S=(1\times 2^1-1\times 2^0-2\times 2^0)+(2-3)\times 2^1+(3-4)\times 2^2+\dots +(n-1-n)\times 2^{n-2}+n\times 2^{n-1}$

整理一下得到：$S=(n-1)\times 2^{n-1}+1$。

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然后对上面的式子取模，得到分子，套用分数取模得到答案。

注意特判一下 $n=1$ 的情况，直接输出 $1$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
const int mod = 1000000007;
unsigned long long ans = 0;
unsigned long long ksm(long long x, int y){unsigned long long ans = 1;while(y){if(y & 1){ans *= x;ans %= mod;}x *= x;x %= mod;y >>= 1;}return ans;
}
int main(){freopen("nbc.in", "r", stdin);freopen("nbc.out", "w", stdout);scanf("%d", &n);if(n == 1){printf("1");return 0;}long long t = ksm(2, n - 1);ans = (t * (n - 1) + 1) % mod;printf("%lld", ksm(t, mod - 2) * ans % mod);return 0;
}