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二叉树的顺序结构及实现

news 来源：原创 2025/4/21 7:32:20

一.二叉树的顺序结构

二.堆的概念及结构

三.堆的实现

一.二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆 ( 一种二叉树 ) 使用顺序结构的数组来存储。

二.堆的概念及结构

1）堆是一颗完全二叉树。

2）堆又分为大堆和小堆，大堆就是树里面任何一个父节点都大于子节点，所以根节点是最大值；小堆就是树里面任何一个父节点都小于子节点，所以根节点也是最小值。

3）堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值。

三.堆的实现

首先来介绍一下堆的向下调整算法

当我们的根结点不满足小堆或者大堆性质时候，我们就使用向下调整算法。

//向下调整
void AdjustDown(HPDatatype* a, int n,int parent);
//向下调整,时间复杂度为logN
void AdjustDown(HPDatatype*a,int n,int parent)
{//先假设左孩子小int child = parent * 2 + 1;while (child < n)//child>=n说明孩子不存在，调整到叶子了 {//找出小的孩子if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]){++child;//让右孩子去交换}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}

然后我们来介绍堆的插入

先插入一个数字到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

void HPPush(HP* php, HPDatatype x)
{assert(php);if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDatatype* tmp = (HPDatatype*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDatatype));if (tmp == NULL){perror("realloc fail");return;}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

向上调整算法

和向下调整算法不同的是，向上调整算法适合小堆，向下调整算法适合大堆

//向上调整堆,小堆结构，谁小谁是爹，大堆同理,时间复杂度为logN
void AdjustUp(HPDatatype* a, int child)
{// 初始条件// 中间过程// 结束条件int parent = (child - 1) / 2;//while (parent >= 0)while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}

最后来说一下，堆的删除

删除堆就是删除栈顶的数据，然后将栈顶的数据和最后一个数据交换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整。

//堆删除,pop删除，要求删除栈顶的数据(根位置)
void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a,php->size,0);
}

堆的代码实现：

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
typedef int HPDatatype;
typedef struct Heap
{HPDatatype* a;int size;int capacity;
}HP;
//交换
void Swap(HPDatatype* p1, HPDatatype* p2);
//向上调整
void AdjustUp(HPDatatype* a, int child);
//初始化
void HPInit(HP* php);
//堆销毁
void HPDestroy(HP* php);
//堆插入
void HPPush(HP* php, HPDatatype x);
//堆删除
void HPPop(HP* php);
//向下调整
void AdjustDown(HPDatatype* a, int n,int parent);
//堆顶元素
HPDatatype HPTop(HP* php);
//判断是否为空
bool HPEmpty(HP* php);
//对数组排序
void HeapSort(int* a, int n);

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"//初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}
//堆销毁
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size= php->capacity = 0;
}
//交换函数
void Swap(HPDatatype* p1, HPDatatype* p2)
{HPDatatype tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}
//向上调整堆,小堆结构，谁小谁是爹，大堆同理,时间复杂度为logN
void AdjustUp(HPDatatype* a, int child)
{// 初始条件// 中间过程// 结束条件int parent = (child - 1) / 2;//while (parent >= 0)while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}
//堆插入
void HPPush(HP* php, HPDatatype x)
{assert(php);if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDatatype* tmp = (HPDatatype*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDatatype));if (tmp == NULL){perror("realloc fail");return;}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
//向下调整,时间复杂度为logN
void AdjustDown(HPDatatype*a,int n,int parent)
{//先假设左孩子小int child = parent * 2 + 1;while (child < n)//child>=n说明孩子不存在，调整到叶子了 {//找出小的孩子if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]){++child;//让右孩子去交换}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}
//堆删除,pop删除，要求删除栈顶的数据(根位置)
void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a,php->size,0);
}//返回堆顶元素
HPDatatype HPTop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];}
//判断是否为空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}