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二进制枚举算法

news 来源：原创 2025/4/24 8:59:02

二进制枚举算法详解

一、什么是二进制枚举算法

二进制枚举算法是一种 通过整数的二进制表示来枚举所有子集 的方法。适用于处理组合问题，特别是与“取或不取”某个元素相关的场景。

📌 原理说明

设有一个集合 A = [a₀, a₁, ..., aₙ₋₁]，我们要枚举它的所有子集。集合中每个元素有两种状态：选 or 不选。因此总共有 2ⁿ 种子集。

我们可以用一个 n 位的 二进制数 来表示一个子集，例如：

二进制位	子集含义
0	不选该元素
1	选该元素

比如对于集合 [1, 2, 3]：

000 → 空集 {}
101 → 选第1和第3个元素 → {1, 3}
111 → 全选 → {1, 2, 3}

✅ 实现步骤

确定元素个数：假设为 n
循环从 0 到 2ⁿ - 1，每个数的二进制表示对应一个子集
用位运算判断每一位是否为 1
构造当前子集
输出或处理这个子集

二、图示理解

假设集合为 [a, b, c]，其子集枚举如下（每一行是一个整数的二进制表示）：

css复制编辑i（二进制）  是否选a  是否选b  是否选c   子集
000           0        0        0       {}
001           0        0        1       {c}
010           0        1        0       {b}
011           0        1        1       {b, c}
100           1        0        0       {a}
101           1        0        1       {a, c}
110           1        1        0       {a, b}
111           1        1        1       {a, b, c}

三、代码实现（Go 示例）

✅ Go 实现：

go复制编辑package mainimport "fmt"func binaryEnum(arr []int) {n := len(arr)for i := 0; i < (1 << n); i++ {var subset []intfor j := 0; j < n; j++ {if (i>>j)&1 == 1 {subset = append(subset, arr[j])}}fmt.Println(subset)}
}func main() {arr := []int{1, 2, 3}binaryEnum(arr)
}

四、二进制枚举的优势

优势	说明
✅ 简洁	使用整数和位运算代替递归或多重循环
✅ 效率高	位运算在底层执行非常快
✅ 结构清晰	子集状态一一对应二进制
✅ 易扩展	可结合子集统计、位掩码优化

五、适用场景

✅ 小规模子集枚举问题

当元素个数不大（通常 n ≤ 20），可暴力枚举 2ⁿ 种组合。

✅ 集合操作（求交并差）

集合可用一个二进制数表示，如 set = 0b10101 表示选了第1、第3、第5个元素。

✅ 状态压缩动态规划（Bitmask DP）

如 TSP（旅行商问题）、集合覆盖、最短Hamilton路径等问题。

✅ 穷举判断满足某种条件的子集

如：求所有子集中和为某个目标值的个数。

六、进阶优化技巧

提前剪枝：遇到明显不符合要求的中间状态时立即跳过
记录中间状态：用 map 缓存某些子集结果
结合排列枚举：在每个子集内部再对元素进行排列

七、常见误区

误区	正确做法
`n` 很大时也使用二进制枚举	超过 `n = 25` 后就非常慢，应换动态规划或回溯
忘记位移方向	`(i >> j)` 是向右移第 `j` 位
忽视索引越界	注意 `arr[j]` 不要超过范围
忽略子集顺序	二进制枚举默认顺序由低到高