目标跟踪中的聚类算法：DBSCAN Kmeans GMM

在目标跟踪任务中，传感器（如雷达、摄像头、激光雷达）实时返回的量测数据往往包含多个目标的观测以及背景杂波。如何将这些量测准确分配到对应的目标轨迹上（即数据关联问题），是实现多目标跟踪的核心挑战。聚类算法通过对量测数据进行分组，剔除杂波并分离不同目标的观测，成为解决数据关联的关键技术。本文从目标跟踪中聚类的必要性出发，详细解析 DBSCAN、K-means、高斯混合模型（GMM）三种经典算法，并对比其特性及改进方向。

一、目标跟踪为何需要聚类？

目标跟踪中的量测数据具有以下特性，使得聚类成为必要步骤：

1. 多目标共存：同一时刻的量测可能来自多个运动目标，需通过聚类将属于同一目标的量测分组。
2. 杂波干扰：传感器常返回大量非目标的虚假量测（如噪声点、反射杂波），聚类可滤除孤立噪声。
3. 目标遮挡：当目标相互靠近或遮挡时，量测的空间分布呈现局部密集特性，聚类可分离重叠目标。
4. 数据关联预处理：在基于轨迹的跟踪（如 JPDA、MHT）中，聚类作为前置步骤，减少后续关联计算量。

聚类的核心目标是：将量测集合 { z 1 , z 2 , … , z n } \{z_1, z_2, \dots, z_n\} {z1​,z2​,…,zn​} 划分为 K 个不相交的簇 { C 1 , C 2 , … , C K } \{C_1, C_2, \dots, C_K\} {C1​,C2​,…,CK​}，每个簇对应一个目标或杂波，使得簇内量测具有高相似性，簇间量测差异显著。

二、三大经典聚类算法解析

1. DBSCAN（密度 - Based Spatial Clustering of Applications with Noise）

数学定义与核心概念

DBSCAN 基于密度可达性定义簇，核心参数为邻域半径 $ϵ$ 和最小点数 $\text{MinPts}$：

• $ϵ$- 邻域：点 p 的 $ϵ$- 邻域定义为所有与 p 距离小于等于 $ϵ$ 的点集合，即 N ϵ ( p ) = { q ∈ Z ∣ d ( p , q ) ≤ ϵ } N_\epsilon(p) = \{q \in Z \mid d(p, q) \leq \epsilon\} Nϵ​(p)={q∈Z∣d(p,q)≤ϵ}，其中 $d(\cdot ,\cdot )$ 为距离度量（如欧氏距离）。
• 核心点：若 $|N_{ϵ}(p)|\ge \text{MinPts}$，则 p 为核心点。
• 密度可达：若存在点序列 $p_1,p_2,\dots ,p_n$，其中 $p_1$ 是核心点，$p_i$ 是 $p_{i+1}$ 的 $ϵ$- 邻域点，则 $p_n$ 从 $p_1$ 密度可达。
• 簇：由所有相互密度可达的点构成的最大集合，允许存在噪声点（非密度可达的点）。

算法实现步骤

1. 初始化：标记所有点为 “未访问”，初始化簇计数器 $k=0$，噪声集合 $\text{Noise}=\varnothing$。
2. 遍历点集：对每个未访问的点p：
   • 计算 $N_{ϵ}(p)$，若 $|N_{ϵ}(p)|<\text{MinPts}$，标记 p 为噪声（加入 $\text{Noise}$）。
   • 否则，创建新簇 $C_k$，将 p 加入 $C_k$，并将 $N_{ϵ}(p)$ 中未访问的核心点加入队列。
3. 扩展簇：对队列中的每个核心点 q，计算其 $ϵ$- 邻域，将未访问的邻域点加入当前簇 $C_k$，若为核心点则加入队列，重复直至队列为空。
4. 终止条件：所有点均被访问，输出簇集合 { C 1 , … , C k } \{C_1, \dots, C_k\} {C1​,…,Ck​} 和噪声集合 $\text{Noise}$。

特点

• 优势：无需预设簇数 K，可检测任意形状的簇，天然支持噪声识别。
• 劣势：对 $ϵ$ 和 $\text{MinPts}$ 敏感，高维数据中距离度量失效（“维度灾难”），密度不均数据中簇划分可能不准确。

2. K-means 算法

数学定义：最小化惯性矩

K-means 通过最小化数据点到其簇中心的欧氏距离平方和（惯性矩，Inertia）划分簇。目标函数为：
$J(C,\mu )={\sum }_{k=1}^K{\sum }_{z\in C_k}\Vert z-{\mu }_k{\Vert }^2$

其中， C = { C 1 , … , C K } C = \{C_1, \dots, C_K\} C={C1​,…,CK​} 是簇划分，${\mu }_k=\frac{1}{|C_k|}{\sum }_{z\in C_k}z$ 是第 k 个簇的中心。

算法实现：迭代优化

1. 初始化簇中心：随机选择 K 个初始中心 { μ 1 ( 0 ) , … , μ K ( 0 ) } \{\mu_1^{(0)}, \dots, \mu_K^{(0)}\} {μ1(0)​,…,μK(0)​}（或采用 K-means++ 优化初始化）。
2. 分配步骤（E 步）：对每个量测 z，计算其到各簇中心的距离，分配至距离最近的簇：$C_k^{(t)}=\left\{z\mid k=\arg {\min }_{i=1,\dots ,K}\Vert z-{\mu }_i^{(t-1)}{\Vert }^2\right\}$
3. 更新步骤（M 步）：重新计算各簇中心：${\mu }_k^{(t)}=\frac{1}{|C_k^{(t)}|}{\sum }_{z\in C_k^{(t)}}z(\text{若 }|C_k^{(t)}|>0)$
4. 收敛判断：若簇中心不再变化或 J 收敛，终止；否则返回步骤 2。

特点

• 优势：计算高效，适用于凸形、规模相近的簇，广泛用于实时跟踪场景。
• 劣势：需预设簇数 K，对初始中心敏感，无法处理非凸形状簇，对噪声和离群点敏感。

3. 高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）

概率模型：软划分与 EM 算法

GMM 假设每个簇服从高斯分布，通过概率密度函数的线性组合拟合数据分布。模型参数为 Θ = { π k , μ k , Σ k } k = 1 K \Theta = \{\pi_k, \mu_k, \Sigma_k\}_{k=1}^K Θ={πk​,μk​,Σk​}k=1K​，其中 ${\pi }_k$ 是第 k 个高斯分量的权重（${\sum }_{k=1}^K{\pi }_k=1$），${\mu }_k$ 和 ${\Sigma }_k$ 是均值和协方差矩阵。数据点 z 属于第 k 个簇的概率（后验概率）为：

$r_{ik}=p(k\mid z_i,\Theta )=\frac{{\pi }_k\mathcal{N}(z_i;{\mu }_k,{\Sigma }_k)}{{\sum }_{j=1}^K{\pi }_j\mathcal{N}(z_i;{\mu }_j,{\Sigma }_j)}$

其中，$\mathcal{N}(z;\mu ,\Sigma )=\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^d\det \Sigma }}\exp \left(-\frac{1}{2}(z-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(z-\mu )\right)$ 是多维高斯概率密度，d 是数据维度。

算法实现：期望最大化（EM）

1. 初始化参数：随机初始化 ${\pi }_k,{\mu }_k,{\Sigma }_k$，或通过 K-means 结果初始化 ${\mu }_k$。
2. E 步：计算后验概率 对每个数据点 $z_i$ 和每个簇 k，计算隶属度 $r_{ik}$：$r_{ik}=\frac{{\pi }_k\mathcal{N}(z_i;{\mu }_k,{\Sigma }_k)}{{\sum }_{j=1}^K{\pi }_j\mathcal{N}(z_i;{\mu }_j,{\Sigma }_j)}$
3. M 步：更新模型参数
   • 权重更新：${\pi }_k^{(t+1)}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{r}_{ik}^{(t)}$
   • 均值更新：${\mu }_k^{(t+1)}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{r}_{ik}^{(t)}{z}_i}{{\sum }_{i=1}^n{r}_{ik}^{(t)}}$
   • 协方差更新：${\Sigma }_k^{(t+1)}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{r}_{ik}^{(t)}(z_i-{\mu }_k^{(t+1)})(z_i-{\mu }_k^{(t+1)}{)}^T}{{\sum }_{i=1}^n{r}_{ik}^{(t)}}$
4. 收敛判断：若参数变化小于阈值或对数似然函数 $\ln p(Z\mid \Theta )$ 收敛，终止；否则返回步骤 2。

特点

• 优势：概率框架支持 “软聚类”，可处理重叠簇和不确定量测，通过协方差矩阵适应不同形状的簇。
• 劣势：需预设簇数 K，计算复杂度高（$O(nK{d}^2)$），存在局部最优解问题，对高维稀疏数据建模能力下降。

三、三种算法对比分析

特性	DBSCAN	K-means	GMM
聚类原理	密度可达性（基于距离和点数）	最小化欧式距离平方和	概率密度函数拟合（软划分）
簇形状假设	任意形状（非参数化）	凸形、球形（参数化）	椭球形（参数化，协方差决定）
簇数 K	自动确定（无需预设）	需手动预设	需手动预设
噪声处理	天然支持噪声点检测	敏感（离群点影响中心）	概率上弱化噪声影响
初始化敏感	低（仅参数 $ϵ,\text{MinPts}$）	高（初始中心影响结果）	高（初始参数影响局部最优）
适用场景	低维、密度不均、任意形状簇	凸形簇、大规模数据实时处理	概率建模、重叠簇、软划分需求

kmeans dbscan算法matlab代码见https://m.tb.cn/h.6j6RZ0z?tk=zXPoVXhIxFr
GMM matlab代码见https://m.tb.cn/h.6jmzeOz?tk=5M9nVXhHzBT

四、改进算法与研究方向

1. DBSCAN 的改进

• HDBSCAN（分层密度聚类）：通过密度可达树（Density Reachable Tree）自动确定最优 $ϵ$ 和 $\text{MinPts}$，解决参数敏感问题，支持层次化簇结构。
• KDBSCAN（高维 DBSCAN）：引入局部离群因子（LOF）度量密度，结合 KD 树加速高维空间中的邻域搜索，缓解 “维度灾难”。
• GDBSCAN（网格 DBSCAN）：将空间划分为网格单元，预先计算网格密度，减少距离计算次数，提升大规模数据处理效率。

2. K-means 的改进

• K-means++：初始化时优先选择距离已选中心较远的点，降低陷入局部最优的概率，公式化表述为：${\mu }_1\sim \text{Uniform}(Z),{\mu }_{k+1}\sim p(z)=\frac{{\min }_{i=1,\dots ,k}\Vert z-{\mu }_i{\Vert }^2}{{\sum }_{z^{\prime }\in Z}{\min }_{i=1,\dots ,k}\Vert z^{\prime }-{\mu }_i{\Vert }^2}$
• ISODATA（迭代自组织数据分析算法）：动态调整簇数 K，允许合并距离过近的簇或分裂规模过大的簇，适应目标数量变化的跟踪场景。
• 加权 K-means：引入量测不确定性权重（如传感器精度），将目标函数改为：$J(C,\mu )={\sum }_{k=1}^K{\sum }_{z\in C_k}{w}_z\Vert z-{\mu }_k{\Vert }^2,w_z\propto \frac{1}{\text{观测噪声方差}}$

3. GMM 的改进

• 增量式 GMM（Online GMM）：针对实时跟踪场景，逐点更新模型参数，避免全量数据重新计算，更新公式为：${\pi }_k^{(t)}=\alpha {\pi }_k^{(t-1)}+(1-\alpha )r_{ik},{\mu }_k^{(t)}=(1-\beta ){\mu }_k^{(t-1)}+\beta z_i$其中 $\alpha ,\beta$ 为学习率。
• 稀疏 GMM：引入稀疏先验（如 L1 正则化），约束协方差矩阵或权重参数，减少冗余分量，适用于高维稀疏量测（如视觉跟踪中的特征点）。
• 非参数 GMM（如狄利克雷过程混合模型，DPMM）：通过狄利克雷过程替代固定簇数 K，实现簇数自适应，避免人工预设 K 的问题。

五、总结

在目标跟踪中，聚类算法是连接传感器量测与目标轨迹的桥梁。DBSCAN 凭借密度特性处理任意形状簇和噪声，K-means 以高效性成为实时场景首选，GMM 则通过概率框架支持软划分和不确定性建模。三者的改进算法针对参数敏感、维度灾难、实时性等问题持续优化，未来研究将更关注多模态数据融合（如视觉与雷达量测的异构聚类）、在线自适应聚类（应对目标数量动态变化）以及轻量化模型（适配嵌入式跟踪设备）。理解算法的数学本质与适用场景，是合理选择聚类方法、提升目标跟踪性能的关键。