【第十六届 蓝桥杯 省 C/Python A/Java C 登山】题解

题目链接：P12169 [蓝桥杯 2025 省 C/Python A/Java C] 登山

思路来源

一开始想的其实是记搜，但是发现还有先找更小的再找更大的这种路径，所以这样可能错过某些最优决策，这样不行。

于是我又想能不能从最大值出发往回搜，手玩了一下发现其实和记搜没什么区别，无非是把边给反向了。

那可能的做法就是强连通分量？我当时板子都掏出来了，但是模拟了一番之后就发现可以用并查集。

下面是正文。

算法：并查集

由于行列是同一套逻辑，所以下面只说同一列内的行操作，同一行内的列操作直接照抄即可。

设现在我们在 $(x,y)$，且存在点 $(i,y)$ 满足 $i>x$ 且 $a_{i,y}<a_{x,y}$，那么我们可以从 $(x,y)$ 向 $(i,y)$ 连边表示 $(x,y)$ 可达 $(i,y)$。

那么同理，如果我们在 $(i,y)$，根据题中所说，$(x,y)$ 满足 $x<i$ 且 $a_{x,y}>a_{i,y}$，同样可以从 $(i,y)$ 向 $(x,y)$ 连边。

也就是说，只要存在一个逆序对，就有一对 双向边！

但是直接 $O(n^2)$ 遍历 $O(m)$ 次来连边有点太狂野了，这复杂度也过不去，所以我们开始寻找逆序对连边的等价命题。

先给出命题：

对于第 $j$ 列，设 $pre[i]$ 表示前 $i$ 个元素的最大值，$suf[i]$ 表示 $[i,n]$ 内元素的最小值，如果 $pre[i]>suf[i+1]$，就连一条 $(i,j)$ 到 $(i+1,j)$ 的边。

为了方便，做几点说明。

• 逆序对连边生成的边集为 $E_0$，相邻连边生成的边集为 $E_1$；
• 简写 $(l,j)$ 到 $(r,j)$ 连双向边为 $l⟺r$。

下面证明二者等价。

若有 $a_{l,j}>a_{r,j}$，那么有 $l⟺r$，那么对于 $i\in [l,r)$，一定有 $pre[i]>suf[i+1]$，那也就是说，$E_1$ 会包含 $l⟺l+1,l+1⟺l+2,\cdots ,r-1⟺r$，这相当于包含了一条 $l⟺r$ 的双向边，所以 $E_0\subseteq E_1$。

若有 $pre[i]>suf[i+1]$，那么有 $i⟺i+1$，同时，由前缀最大和后缀最小的性质可以得到，必然存在 $l\in [1,i]$ 和 $r\in (i,n]$，使得 $a_{l,j}>a_{r,j}$，那么首先就有 $l⟺r$。如果 $l<i$，说明 $a_{l,j}>a_{i,j}$，那么由题目条件有 $l⟺i$，同理如果 $i+1<r$，那么 $i+1⟺r$，将这三条边合起来，就包含了一条 $i⟺i+1$ 的双向边，所以 $E_1\subseteq E_0$。

综上，$E_0=E_1$，二者等价。

设我们这样得到了 $N$ 个连通块，第 $i$ 个连通块的大小为 $si{z}_i$，其块内最大值为 ${\max }_i$，则最终答案为

$$\sum _{i=1}^{N}si{z}_i\times ma{x}_i.$$

时间复杂度 $O(\mathrm{nm}\cdot \alpha (\mathrm{nm}))$

• 其中 $\alpha (\mathrm{nm})$ 是反阿克曼函数，一般可以看作 $3,4$ 左右的常数。

C++ Code

#include <bits/stdc++.h>using i64 = long long;struct DSU {std::vector<int> f, sz;DSU() {}DSU(int n) {init(n);}void init(int n) {f.resize(n);std::iota(f.begin(), f.end(), 0);sz.assign(n, 1);}int find(int x) {while (x != f[x]) {x = f[x] = f[f[x]];}return x;}int size(int x) {return sz[find(x)];}bool merge(int x, int y) {x = find(x);y = find(y);if (x == y) {return false;}sz[x] += sz[y];f[y] = x;return true;}bool same(int x, int y) {return find(x) == find(y);}
};template<class T>
void chmax(T &a, T b) {if (a < b) {a = b;}
}
constexpr int inf = std::numeric_limits<int>::max() / 2;int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(nullptr);std::cout << std::fixed << std::setprecision(6);int n, m;std::cin >> n >> m;const int N = n * m;std::vector<int> a(N);for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) {std::cin >> a[i * m + j];}}DSU dsu(N);for (int i = 0; i < n; i++) {std::vector pre(m + 1, 0);std::vector suf(m + 1, inf);for (int j = 0; j < m; j++) {pre[j + 1] = std::max(pre[j], a[i * m + j]);}for (int j = m - 1; j >= 0; j--) {suf[j] = std::min(suf[j + 1], a[i * m + j]);}for (int j = 1; j < m; j++) {if (pre[j] > suf[j]) {dsu.merge(i * m + (j - 1), i * m + j);}}}for (int j = 0; j < m; j++) {std::vector pre(n + 1, 0);std::vector suf(n + 1, inf);for (int i = 0; i < n; i++) {pre[i + 1] = std::max(pre[i], a[i * m + j]);}for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {suf[i] = std::min(suf[i + 1], a[i * m + j]);}for (int i = 1; i < n; i++) {if (pre[i] > suf[i]) {dsu.merge((i - 1) * m + j, i * m + j);}}}std::vector max(N, 0);for (int i = 0; i < N; i++) {chmax(max[dsu.find(i)], a[i]);}i64 ans = 0;for (int i = 0; i < N; i++) {if (dsu.find(i) == i) {ans += 1LL * dsu.size(i) * max[i];}}std::cout << 1.* ans / n / m << "\n";return 0;
}