C++进阶--二叉搜索树

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今天我们开始学习二叉搜索树，为后面map和set打下坚实基础
作者：٩( ‘ω’ )و260
我的专栏：C++进阶，C++初阶，数据结构初阶，题海探骊，c语言
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C++进阶–二叉搜索树

概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:
• 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树
⼆叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续的map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值。
我们来看一个图示例：

算法复杂度

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其高度为：log2 N
最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其高度为：N
所以综合而言⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)

我们以前也学习了一个算法，为二分查找，二叉查找时间复杂度为log2N，二分查找用的缺陷：

1.需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
2.插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。

所以，为了处理搜索二叉树的两支结点个数明显不相同的时候，我们提出了平衡二叉树以及红黑树。才能适用于我们在内存中存储和搜索数据

模拟实现

在这里，我们实现的是去重搜索二叉树。

结构定义

二叉树的底层是一个一个的结点，结点中又两个指针以及存储的数据（指针域和数据域）。
在搜索二叉树中，数据域可能有各式各样的类型，我们这里统一把他们叫为键值（key）。
来看代码：
搜索二叉树结点类型

template<class K>
struct BSTreeNode{BSTreeNode<Key>*_left = nullptr;//这里会走初始化列表的BSTreeNode<Key>*_right = nullptr;K _key;BSTreeNode(const K& key)//顺便写了构造:_key(key){}
}

虽然我这里结点类型使用的是公有，使用搜索二叉树没有必要去操控结点类型，所以可以设置为公有，而且，我的二叉树封装搜索二叉树结点，迭代器来操作搜索二叉树，实际上实现了变相封装。
搜索二叉树类型

template<class K>
class BSTree{
public:typedef BSTreeNode<k> Node;
private:Node* _root;
}

插入

插入一个数据，首先需要考虑插入的位置的哪里，我们需要通过大小比较来找到需要插入数据的位置，这个位置一定是在叶子结点的，而且还需要考虑要将两个结点进行连接。注意插入数据的时候BSTree为空和非空还要分一下情况。
我们来看下面的这个代码用于完成插入操作：

bool Insert(const K&key)
{if(_root==nullptr){_root=new Node(key);reutrn true;}Node*parent=nullptr;Node*cur=_root;while(cur){if(cur->_key<key){parent=nullptr;cur=cur->_right;}else if(cur->_key>key) {parent=cur;cur=cur->left;}else{return false;//去重操作}}//cur为nullptr，parent为叶子结点了Node*newnode=new Node(key);if(cur->_key>key){parent->_left=newnode;}else{parent->_right=newnode;}return true;
}

为什么我这里是进行布尔返回值？因为我要去重，如果是相同数据的话，我就不用再来插入这个数据了

如果我们这里是实现可以插入相同数据的话，其实就是当数据相同的时候，即可以向左走，也可以向右走。

查找

我们进行查找，其实就是进行查找元素与BSTree进行大小比较，最后找到返回true，反之返回false
来看代码：

bool Find(const K& key)
{Node*cur=_root;while(cur){if(cur->_key<key){cur=cur->_right;}else if(cur->_key>key) {cur=cur->left;}else{return true;//找到了}}return false;
}

最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。如果不支持插入相等的值，找到x即可返回。

删除

在这里主要是删除是实现的难点，首先，我们先来看需要删除的几种情况：

如果是删除叶子结点，我们是不是就可以直接将这个叶子结点删除，然后修改我的被删除的叶子结点的父结点的指针指向。
如果我们此时删除没有左孩子的结点，我们就应该让被删除结点的父结点指向被删除结点的下一个结点
我们怎么判断是父结点的left指针修改还是right指针修改呢？
我们来查看被删除的结点是父结点的左孩子还是右孩子即可：

再来看一种情况：

此时我们发现，被删结点的左子树和右子树都有孩子，此时如何处理？
我们删除这个3之后，该使用哪一个值来替换3的位置呢？同时还得满足二叉搜索树的性质呢？

因为左子树的最大元素一定是比左子树所有元素都大，由于二叉搜索树的性质。该数又是小于整个右子树的，同理，右子树的最小元素一定是比所有右子树元素小，由于二叉搜索树的性质，该数又是大于整个左子树的。为了演示，这里我们采用右子树的最小元素来书写代码：

我们先来总结一下二叉搜索树的删除问题：

1.要删除结点N左右孩⼦均为空
2.要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
3.要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
4.要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

上面四类问题又可以将1融合到2,3类问题中去，因为左右孩子为空是包含在左孩子为空或者右孩子为空的情形中的。
有了分类，我们该如何来实现每一种分类呢？
来看下列图像：


此时还需要注意如果我们删除的结点就是根结点，由于根结点没有父结点，所以这种情况需要我们来单独处理，删除。
来看代码：

bool erase(const Key& key)
{Node*parent=nullptr;Node*cur=_root;while(cur){if(cur->_key<key){parent=nullptr;cur=cur->_right;}else if(cur->_key>key) {parent=cur;cur=cur->left;}else{//找到匹配结点，准备删除结点if(cur->_left==nullptr)//此时左孩子不存在{if(cur==parent)//此时只有一个头结点{root=cur->_right;}else{if(key>parent->_key)//影响父结点的右子树{parent->_right=cur->_right;//上面前提是cur左孩子不存在}else{//影响父结点的左子树parent->_left=cur->_right;}}delete cur;}else if(cur->_right==nullptr)//此时右孩子不存在{if(cur==parent)//此时只有一个头结点{root=cur->_left;}else{if(key>parent->_left)//影响父结点的右子树{parent->_right=cur->_left;}else{//影响父结点的左子树parent->_left=cur->_left;}}delete cur;}else{Node*minright=cur->_right;//先进入右子树顺便找最小Node*pminright=cur;//找到最小结点前一个结点，因为这个也是会被影响的父结点，类似第一种情况while(minright->_left){pminright=minright;minright=minright->_left;//一直向左找最小}std::swap(minright->_key,cur->_key);//交换其中的值//查看影响的是父结点的左子树还是右子树if(pminright->_left==minright)//影响父结点的左子树{pminright->_left=minright->_right;}else{//影响父结点的右子树pminright->_right=minright->_right;}delete minright;}return true;//成功删除}}return false;//没有找到删除数据}
}

上面代码有一个点必须要提一下，为什么下方代码是这个，而不是Node*pminright=nullptr呢？

Node*pminright=cur;

首先，如果是nullptr的话，我必须要进去才能保证pminright被更新，如果没有进入循环，即右子树的根结点就是最小值，此时该右子树无左子树。此时无法进入循环，就会导致空指针的解引用报错：
如下面这种情况：

注意一定要去理解代码。
而且：为什么我们这里都是pminright->_left=minright->_right;和pminright->_right=minright->_right;都是minright->_right呢？
因为我是一直向minright的_left查找的，出循环的时候minright->_left一定是空，所以，当需要改变父结点指向的时候，只有minright->_right有数据，才能够来进行。

剩余的次要接口

在二叉搜索树中，掌握以上三个接口是至关重要的，下面我们来讲解次要接口：

中序遍历：

特点：二叉搜索树的中序遍历一定是升序的，因为其性质决定的。
来看代码：

public:
void Inorder()
{_Inorder();cout<<endl;
}
private:
void _Inorder(Node* root)
{if (root == nullptr){return;}_Inorder(root->_left);cout << root->_key << " ";_Inorder(root->_right);
}

为什么这里我需要写成递归的形式，一是为了契合stl接口，其次递归需要传参，库中的Inorder并没有传承，所以我们需要再次写一个传参的递归。而且，底层传参设置为私有，因为是给公有函数使用的。

构造，析构，拷贝构造，赋值重载

首先我们需要明白：
拷贝构造有了之后就不会再生成了，造成的影响是我的默认构造函数也不会生成，因为拷贝构造也是构造的一种，所以，如果我们写了拷贝构造，默认构造就必须要写，否则不会生成
来看结果：

BSTree(cosnt BSTree<k>& t)
{_root=Copy(t._root);
}
Node*Copy(Node*root)
{if(root==nullptr){return nullptr;}Node*copy=new Node(root-<_key);copy=Copy(root->left);copy=Copy(root->right);return copy;
}

这里的拷贝构造需要使用递归，因为我需要将整个二叉搜索树给遍历一遍，有前面二叉树的知识，这里问题不大。
这里写成递归的原因还是为了契合stl接口，而且拷贝构造参数只能够来传递这个，想要使用递归，只能够在写出来一个递归函数。

因为有拷贝构造，所以我们这里必须要显示写默认构造，否则编译器不会生成默认构造函数，因为拷贝构造函数也是构造函数，显示写了构造函数就不会再生成构造函数。这里有两种方法：
第一种强制生成：
使用default关键字：
第二种直接显示写即可：

BSTree()=default;//法1
BSTree(){}//法2

来看赋值重载，我们这里还是使用现代式的写法：来看代码：

BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)//这里一定要使用传值传参
{swap(_root,t._root);return *this;
}

随后我们来写析构，因为析构格式是已经被定义好的，但是我们又要写递归将结点全部来删除，所以我们只能够再来写一个函数，来看代码：

~BSTree()
{Destroy(_root);_root=nullptr;
}
void Destroy(Node* root)
{if(root==nullptr){return nullptr;}Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete _root;
}

注意我们这里必须使用后序遍历，不然使用其他两种遍历，子树的指针就找不到了！！
最后还有细节：
1：类模版在外面一定要带模版参数，在类中可以不用带模版参数，但是为了代码可视化，都统一带上模版参数。
2：当需要把iostream转换为一个布尔值时，会调用operator bool函数，为什么是重在bool呢？
因为（）（强转符号）和函数调用用的扩容重复了，而且operator （）被仿函数给占用了，所以这里就比较特殊，那什么时候返回假呢？比如我int型但是输入的是浮点型的时候，会判定为假，如果想要结束，就输入ctrl+z+换行即可
如下

int x=0;
while(cin>>x)
{}

3:以后能写循环的话就不要写递归

结语

感谢大家阅读我的博客，不足之处欢迎指正，感谢大家的支持
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