根据极点-零点分布进行状态空间模型降阶

根据极点-零点分布进行状态空间模型降阶

• 极点 告诉你系统自己会怎么“颤动／衰减”——是所有模态的汇总；
• 零点 告诉你在哪些频率上“输入到输出的链路被一脚踹断”；
• 极点–零点相同 说明 “内部有这个模态，但外部完全看不到”，正是降阶的目标。

极点（Pole）的物理／数学含义

1. 自然模态（Natural Modes）
   • 极点 $s_i$ 就是矩阵 $A$ 的特征值。每一个特征值对应一个“模态”——系统在无外力（$u=0$）下，会 沿着对应的特征向量方向，以 $e^{s_{i}t}$ 的形式 自然衰减或振荡。
   • 如果 $s_i$ 是实数，模式是单指数衰减 $e^{s_{i}t}$；如果是复数对 $\alpha \pm j\beta$，是衰减振荡 $e^{\alpha t}\cos (\beta t)$。
2. 时域含义
   • $\Re (s_i)<0$ → 模式衰减，且 $|\Re (s_i)|$ 越大，衰得越快，系统稳定；
   • $\Re (s_i)>0$ → 模式发散，系统不稳定；
   • $\Re (s_i)=0$ 且 $\Im (s_i)\ne 0$ → 永久振荡（边界稳定）。
3. 频域含义
   • 在频率响应里，离开输入的频率越靠近某个复数极点的虚部，系统对该频率的放大倍数越大（共振／峰值）。

零点（Zero）的物理／数学含义

1. 传输零点（Transmission Zeros）
   • 零点 $z_j$ 是这样一类频率：即使在输入端 $U(s)$ 做脉冲／正弦激励，输出 $Y(s)$ 却在此 $s=z_j$ 频率处被完全“抑制”（幅度为零）。
   • 数学上，零点是使得传递函数矩阵 $G(s)$ 在某个方向上降秩（或者 分子多项式为零）的 $s$ 值。
2. 输入–输出影响
   • 有零点的模式往往是那种“输入作用到这个模态上，会被系统某种耦合机制立刻在输出端给抵消掉”，即 在传递路径上打了一个“死结”。

下面举个具体的例子帮助理解，参考 How Transfer Function Zeros Affect Transient Response

这些脉冲响应来自拥有 相同极点 的系统，那么它们究竟如何产生如此巨大的差异呢？

首先注意到，它们的 传递函数分子（零点位置）是不同的。我们把这两组传递函数 泛化为二阶系统：

左侧系统在 $s=-z$ 处有一个零点；右侧系统没有任何零点。

问题就转化为：一个零点的存在，为什么会导致如此不同的响应？

首先看 无零点系统 $H_1(s)$ 的脉冲响应，

其中极点为复共轭对（阻尼比 $\zeta <1$），可分解并做部分分式展开，取逆拉普拉斯变换后得到时域脉冲响应并简化，

注意，$y_1(t)$ 是指数和正弦波的乘积，指数项（极点的实部） 控制衰减或增长速度，正弦项（极点的虚部） 控制振荡频率。

现在已经确定了无零脉冲响应，现在来确定 在 $-z$ 处有一个零点系统 $H_2(s)$ 的脉冲响应，

同样对分母分解、做部分分式展开，并取逆拉普拉斯变换，化简后可得，

事情开始变得有趣了，

• 看一下第二项 $\frac{z-a}{b}$，随着 $z$ 接近 $a$，频率响应 $y_1$ 会缩放，特别是当 $z$ 接近于 $p$ 的实部 $a$ 时，极点位于 $-p$，$(z-a)$ 项会消失，该 模态与 $y_1$ 完全抵消。
• 第二个观察结果是，零点不会影响衰减或放大的速率（即不会改变极点的实部）。

根据这些观察结果，现在要问的是，零点位置如何影响脉冲响应？

叠加各个零点位置的响应，

将系统极点固定在复平面上的某对位置，依次 把零点从右半平面向左半平面移动，可以同时绘制其脉冲响应，发现：

• 零点最初位于右半平面，这会导致瞬态响应最初下降；
• 当零点向左移动到左平面时，瞬态响应开始上升。

对两种情况的脉冲响应进行扩展，现在将单零点响应扩展为三个项，看看单零点响应中有什么？

原来的无零点项按 $z$ 缩放。再看当零点从右半平面移动到左半平面时，这个项如何影响瞬态响应，

零点的位置 $s$ 与第三项中包含的 $z$ 值相反，

• 零点位于左半平面时 $z>0$，因此添加了第三项，这就是为什么 当 $z$ 变大时，瞬态响应会增大（过冲）；

因此在单零瞬态响应中，我们有按 $z$ 缩放的原始无零响应，以及 由于零点而产生的额外瞬态响应，

这个额外的瞬态响应是什么？

对每个项进行拉普拉斯变换，我们发现瞬态是无零响应的导数，

注意传递函数 $H_2$ 现在表示为 $H_1$ 的函数，零点的影响是缩放无零响应，并将无零响应的导数添加到它，

现在考虑 $H_2$ 行为如何随着 $z$ 的变化而变化，

• 随着 $z$ 的幅度变大，缩放的无零响应占主导地位；
• 随着 $z$ 幅度变小，无零响应的导数占主导地位。

在这两个极端之间，$H_2$ 是 $H_1$ 及其导数的组合。因此，在 $y_2$ 的时间域中，我们查看的是 $y_1$ 及其导数的线性组合。

从 $H_2$ 中分解出 $H_1$，并注意 $H_2$ 是两个传递函数的乘积。

• $H_1$ 将输入 $U$ 转换为其输出 $Y_1$。
• 在 $s=-z$ 处的零点将 $H_1$ 的输出通过传递函数 $s+z$ 进行变换，乘积是 $H_2$，即单零传递函数，或者说是 $H_2$ 将输入信号 $U$ 转换为输出 $Y_2$。

现在，我们便从 频域（零点的代数作用） 到 时域（叠加导数项），再回到频域看其物理意义。这使我们能够从多个角度理解零点对瞬态响应的影响。

在滤波器设计中，常用 严格本性（无零点）函数来抑制噪声；而一个零点的加入，实际上是对无零点响应的“反向滤波”，它通过缩放和叠加导数可能在信号上引入更大的瞬态振荡。

总结：

• 极点 决定系统的 衰减/振荡 速率（自然模态）；
• 零点 不会改变衰减率，但会通过 叠加导数项 引入 超调/下冲；
• 当零点与极点相撞时，会 相互抵消，该模态在输入–输出通路上完全“隐形”；
• 正是零点位置的变化，让两个拥有 相同极点 的系统展现出 截然不同 的瞬态响应。

极点–零点相同位置：模式抵消

当看到：

极点: -1.8423, -1.7864, …  
零点: -1.8423, -1.7864, …

一一对应，说明：

1. 这些 极点–零点对 在传递函数里互相抵消，对输入–输出动态没有贡献。
2. 换言之，这部分“内部模态”虽然存在于 $A$ 矩阵，却对任何外部输入 $u$ 并不会在输出 $y$ 上留下痕迹——要么是 不可观测，要么是 不可控，或者两者兼有。

✨ 为什么 可以 模型降阶？

点	含义
极点 = 模态存在	系统里有这个模式
零点 = 模态抵消	输入–输出通路上不允许这个模式传播
极点 = 零点	模态虽然存在，但完全被抑制，对输入输出行为 没有任何影响
极点 = 零点 为什么无用？	不影响响应、不影响控制器、不改变系统性能，删掉更高效

• 移除“丝毫不影响”输入–输出性能的那些模式，让模型变得更小、更高效；
• 降阶后剩下的极点，才是真正决定系统对外（关心的那个输入–输出通道）动力学性能的 “有效模式”；
• 去除无用模式还有利于控制器设计（避免去补偿那些根本检测不到或控制不到的动态）。

举一个简单的例子，考虑一个 SISO 系统，传递函数为：

$$G(s)=\frac{(s+3)}{(s+1)(s+3)}$$
可以对上面的式子做约分，化简后得到的系统：
$$G_{\text{简化}}(s)=\frac{1}{s+1}$$

• 原本极点有 { − 1 , − 3 } \{-1,-3\} {−1,−3}，零点有 { − 3 } \{-3\} {−3}。
• 因为 $-3$ 频率上“零点–极点成对抵消”，最终等价于一个一阶系统 $1/(s+1)$。

为什么这个抵消的模态没用了？

可以从时域和频域两个角度来理解。

• 时域角度理解
  系统本来包含模态：

  • $e^{-t}$（极点 -1）→ 留下来了
  • $e^{-3t}$（极点 -3）→ 被零点抵消了！

  也就是说：系统本来有两个动态过程在响应输入时发生，一个快的、一个慢的。但是由于 $s=-3$ 同时是零点，所以该模态虽然 系统内部存在，但它 对输出的影响被输入路径“抵消”掉了！
  想象成：这个模态存在于系统内部，但输入 $u$ 不会激发它，输出 $y$ 也看不到它。

• 频域角度理解
  来看系统的频率响应：

  • 零点是让系统在某个频率 完全无响应。
  • 极点是系统在某个频率 响应增强（或延迟）。

  当 极点和零点相同 时，这两种影响完全抵消掉了。在 $s=-3$ 附近，刚想要“振起来”，系统立刻把那一部分“消掉”，结果就是没有那部分响应。

在控制系统里，我们只关心 输入 $u$ 到 输出 $y$ 的通路。如果某个内部状态的动态，输入激不起它，输出也看不到它，那它对控制器设计来说是 完全无用的：无需观测它、无需控制它、不影响性能、不影响稳定性。

所以在建模或简化模型时，完全可以删掉它。

MATLAB 绘制极点-零点分布

%% 1. 构造系统并算极零点
sys = ss(A,B,C,D);  % 自定义的 A,B,C,D%% 2. 绘制极点-零点图
figure
hold on;
pzmap(sys)
grid on%% 3. 叠加阻尼比和自然频率线
sgrid

底图并不是一个“正方形”网格，而是典型的 s‑平面（damping–frequency）网格：

• 圆弧（constant natural frequency）
• 放射状直线（constant damping ratio）
• x 轴、y 轴刻度不等距（非等高宽）

MATLAB 自带了 Control Toolbox 里的 sgrid 函数，专门用来往 s‑平面上画这两种网格。

从极点（Poles）和传输零点（Transmission Zeros）结果来看，主要暴露出以下几个问题：

1. 高阶系统中存在大量“重合”极点–零点
   • 除了一个 幅值约为 $-9.4108\times 10^4$ 的快模，几乎所有极点都落在 $-0.0\dots \sim -1.0$ 之间，而且传输零点列表里几乎“抄”了一份极点（同样的值、同样的幅度）——这说明在这些频率点上存在 成对的极点–零点。
   • 这正是典型的 “极点–零点相互抵消”（pole–zero cancellation）：系统在这些模态上既有极点又有相同位置的零点，结果在开环或闭环响应中，这部分动态都会被“抹去”，对外表现得像不存在这些模态。
2. 模型“非最简”／不必要的高阶
   • 当从某个更复杂的结构（比如带有很多中间变量、滤波器、观测器等）直接写出 $A,B,C,D$ 后，很容易出现 非最小实现（non‑minimal realization）：可控但不可观测或可观测但不可控的状态分量，被保留在模型里，却对输入—输出响应没有实质贡献。
3. 大量频率接近零的模式
   • 大量接近 0 （如 $-0.0000$）的极点和零点，往往是数值精度或模型降阶／近似造成的“伪模式”——物理上并不存在这么多几乎为零的慢模态（“伪零点”）。

真正对系统输入—输出贡献 的是 被保留下来的“非抵消”极点／零点，对这些模式之外的部分，可以 用 minreal 或降阶方法清理掉。这样既让模型更简洁，也能避免后续控制器设计中出现不必要的麻烦。

1. 最小化模型： 在 MATLAB 中对状态空间对象调用

   sys_min = minreal(sys);
   

   它会自动做可控性/可观测性分析，去掉所有“成对抵消”的极点–零点，得到最简的等价系统。

2. 数值条件检查：

   • 用 ctrb(A,B) 与 obsv(A,C) 查看可控/可观矩阵秩，确认是否存在不可控或不可观测子空间。

   rank(ctrb(A,B)), rank(obsv(A,C))
   

   • 若秩小于状态维数，说明有冗余（不可控或不可观），需要先做可控／可观子空间分解。

3. 平衡降阶（可选） 如果想在保留主要特性下更进一步降阶，可用

   sys_bal = balreal(sys);
   sys_red = modred(sys_bal, indices_to_remove);
   

   或直接

   sys_red = balred(sys, r);
   

   用 Hankel 奇异值自动去掉贡献最小的模式。

4. 避免数值爆炸/精度问题：

   • 如果原始 $A$ 矩阵元素跨度极大（如首个极点是 $10^4$，其余都是 $10^{-1}$ 量级），建议先缩放状态或做“坐标变换”让系统矩阵条件数改善。
   • 保持同一数量级，有助于数值算法（计算特征值、零点）更稳健。