3DGS之齐次坐标

一、齐次坐标是什么？

        齐次坐标是一种用 N+1维向量表示N维空间中的点或向量 的数学工具。例如，3D笛卡尔坐标系中的点 (x,y,z)在齐次坐标系中会被扩展为四维向量 (x,y,z,w)，其中 w 是比例因子（通常设为1）。

其核心特性包括：

1. 统一性：通过引入第四维分量 w，齐次坐标可以统一表示点、向量以及无穷远点：
   • 当 w=1 时，四维坐标 (x,y,z,1) 对应3D点 (x,y,z)；
   • 当 w=0 时，四维坐标 (x,y,z,0) 表示向量或无穷远点（如平行线的交点） 。
2. 比例不变性：齐次坐标允许通过缩放所有分量表示同一个点，例如 (2,4,6,2) 和 (1,2,3,1)对应同一个3D点 (1,2,3)。

二、为什么3DGS需要将3D点转换为齐次坐标？

        在3DGS等图形学应用中，齐次坐标的核心价值在于 通过4x4矩阵统一表示所有几何变换，具体原因如下：

1. 统一仿射变换的数学表达

• 笛卡尔坐标的局限性：在普通3D坐标中，平移变换需用向量加法（如 x′=x+tx），而旋转和缩放是矩阵乘法。这种混合操作无法通过单一矩阵统一描述。
• 齐次坐标的矩阵统一性：引入齐次坐标后，平移、旋转、缩放等变换均可表示为4x4矩阵乘法：
  • 平移矩阵：​​​​​​

• • 旋转/缩放矩阵：

        这种统一性允许通过矩阵连乘实现复杂的组合变换（如先旋转再平移）。

2. 支持透视投影与相机模型

        在3DGS中，场景需要投影到2D图像平面（如渲染过程）：

• 透视投影的数学需求：透视变换是非线性的（物体近大远小），而齐次坐标通过4x4矩阵可编码透视投影参数（如视场角、近远裁剪面），最终通过齐次除法（x/w,y/w,z/w）将点映射到标准化的设备坐标系。
• 相机位姿建模：相机的位置和朝向变换（如从世界坐标系到相机坐标系）可通过齐次矩阵一次性完成，无需分步计算平移和旋转。

3. 计算效率与代码简洁性

• 批量处理点云：在3DGS中，场景可能包含数百万个点（形状为[P, 3]），转换为齐次坐标[P, 4]后，所有变换操作均可通过矩阵乘法实现，便于GPU并行加速。
• 避免条件分支：齐次坐标的固定维度消除了对点和向量的特殊处理（如平移仅作用于点），简化代码逻辑。

三、实际案例：3DGS中的坐标变换流程

        假设3DGS需要对场景中的点云进行旋转、平移和透视投影：

1. 输入数据：原始点云为[P, 3]的笛卡尔坐标。
2. 转换为齐次坐标：添加第四维 w=1，得到[P, 4]的齐次坐标。
3. 应用变换矩阵：
   • 通过4x4矩阵组合旋转和平移；
   • 投影矩阵将3D点映射到2D屏幕空间。
4. 齐次除法：将结果坐标的 x,y,z 分量除以 w，得到最终的归一化坐标。

四、总结

        齐次坐标通过 增加第四维度 和 统一矩阵运算，解决了笛卡尔坐标无法统一表示仿射变换的问题，特别是在处理平移和投影时。在3DGS中，这种表示方法能够简化数学运算，提高计算效率，并支持复杂的变换组合，使得场景重建和渲染更加高效和灵活。