高等数学第一章---函数与极限(1.3 函数的极限)

高等数学第一章—函数与极限(1.2 数列的极限2)

§1.3 函数的极限

数列是一类特殊的函数，自变量$n$的变化趋势只有$n\to \infty$这一种情况。而函数$y=f(x)$的自变量$x$的变化趋势更为多样，常见的有$x\to \infty$、$x\to x_0$等。下面将分别探讨在这些情况下函数的变化趋势，也就是函数的极限。

一、$x\to \infty$时$f(x)$的极限

1. $x\to +\infty$时$f(x)$的极限

观察函数$y=1+\frac{1}{x}$，当$x\to +\infty$时，从其函数图像（此处可插入$y=1+\frac{1}{x}$在$x$趋向正无穷部分的大致图像）可以直观地看到，函数值$y$会无限接近常数“$1$”。这意味着当$x\to +\infty$时，$|y-1|$的值会无限变小。此时，我们就把常数“$1$”称为当$x\to +\infty$时$y=1+\frac{1}{x}$的极限。

定义1：设$y=f(x)$在区间$(a,+\infty )$上有定义，$A$为常数。当$x\to +\infty$时，如果$f(x)$无限接近$A$，那么就称$A$为当$x\to +\infty$时$f(x)$的极限，记作${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A$。

注：定义1属于描述性定义。若要将其精确化，我们可以把“$f(x)$无限接近$A$”用数学语言定量地表示为“$\forall \epsilon >0,|f(x)-A|<\epsilon$” ，把“$x\to +\infty$”定量表示为“$\exists M>0,x>M$” ，由此得到下面更精确的定义：

定义1’：对于任意给定的正数$\epsilon$（$\epsilon$表示要多小有多小的正数），都存在正数$M$（$M$表示要多大有多大的正数），使得当$x>M$时，不等式$|f(x)-A|<\epsilon$恒成立，那么就称$A$为当$x\to +\infty$时$f(x)$的极限，记作${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A$。

例如，对于函数$y=1+\frac{1}{x}$，根据上述定义，我们可以得出${\lim }_{x\to +\infty }(1+\frac{1}{x})=1$。

2. $x\to -\infty$时$f(x)$的极限

同样观察函数$y=1+\frac{1}{x}$，当$x\to -\infty$时（可插入相应函数图像部分辅助理解），函数$y=1+\frac{1}{x}$依然无限接近常数“$1$” ，即当$x\to -\infty$时，$|y-1|$无限小。所以，常数“$1$”就是当$x\to -\infty$时$y=1+\frac{1}{x}$的极限。

定义2：设$y=f(x)$在区间$(-\infty ,a)$上有定义，$A$为常数。当$x\to -\infty$时，如果$f(x)$无限接近$A$，那么就称$A$为当$x\to -\infty$时$f(x)$的极限，记作${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=A$。

注：与前面类似，定义2也是描述性定义。精确化后，把“$f(x)$无限接近$A$”表示为“$\forall \epsilon >0,|f(x)-A|<\epsilon$”，把“$x\to -\infty$”表示为“$\exists M>0,x<-M$”（这里$-M$表示绝对值要多大有多大的负数） ，得到如下精确化定义：

定义2’：对于任意给定的正数$\epsilon$，都存在正数$M$，使得当$x<-M$时，不等式$|f(x)-A|<\epsilon$恒成立，那么就称$A$为当$x\to -\infty$时$f(x)$的极限，记作${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=A$。

例如，${\lim }_{x\to -\infty }(1+\frac{1}{x})=1$。

3. $x\to \infty$时$f(x)$的极限

由于$x\to \infty$包含了$x\to +\infty$和$x\to -\infty$这两种情况，所以将上述定义1和定义2整合起来，就得到了$x\to \infty$时$f(x)$的极限定义。

定义3：设$y=f(x)$在区间$(-\infty ,+\infty )$内有定义，$A$为常数。当$x\to +\infty$以及$x\to -\infty$时，$f(x)$都无限接近$A$，那么就称$A$为当$x\to \infty$时$f(x)$的极限，记作${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$。

定义3’：对于任意给定的正数$\epsilon$，都存在正数$M$，使得当$|x|>M$时，不等式$|f(x)-A|<\epsilon$恒成立，那么就称$A$为当$x\to \infty$时$f(x)$的极限，记作${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$。

例如，${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x})=1$。

注：

• $1^{\circ }$ ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$等价于${\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{x\to -\infty }f(x)=A$。这表明，只有当函数在$x$趋向正无穷和负无穷时的极限都存在且相等，函数在$x$趋向无穷时的极限才存在。
• $2^{\circ }$ 如果${\lim }_{x\to +\infty }f(x)eq{\lim }_{x\to -\infty }f(x)$，那么${\lim }_{x\to \infty }f(x)$不存在。

例1：讨论下列极限是否存在

• $(1){\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}$
• 分析：当$x\to +\infty$时，$\frac{1}{x}$的值越来越接近$0$；当$x\to -\infty$时，$\frac{1}{x}$的值同样越来越接近$0$。根据上述${\lim }_{x\to \infty }f(x)$存在的条件可知，${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{1}{x}=0$，所以${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$，该极限存在。
• $(2){\lim }_{x\to \infty }\arctan x$
• 分析：当$x\to +\infty$时，$\arctan x\to \frac{\pi }{2}$；当$x\to -\infty$时，$\arctan x\to -\frac{\pi }{2}$。因为${\lim }_{x\to +\infty }\arctan xeq{\lim }_{x\to -\infty }\arctan x$，所以${\lim }_{x\to \infty }\arctan x$不存在。
• $(3){\lim }_{x\to \infty }{e}^x$
• 分析：当$x\to +\infty$时，$e^x$的值趋向于正无穷；当$x\to -\infty$时，$e^x\to 0$ 。由于${\lim }_{x\to +\infty }{e}^x$不存在（趋向无穷大不是极限存在的情况），且${\lim }_{x\to +\infty }{e}^{x}eq{\lim }_{x\to -\infty }{e}^x$，所以${\lim }_{x\to \infty }{e}^x$不存在。

例2：利用定义证明

• $(1){\lim }_{x\to +\infty }(\frac{1}{2}{)}^x$
• 证明：对于任意给定的$\epsilon >0$，要使$|(\frac{1}{2}{)}^x-0|=(\frac{1}{2}{)}^x<\epsilon$，即$2^x>\frac{1}{\epsilon }$，两边取以$2$为底的对数可得$x>{\log }_2\frac{1}{\epsilon }$。取$M={\log }_2\frac{1}{\epsilon }$，则当$x>M$时，有$|(\frac{1}{2}{)}^x-0|<\epsilon$成立。所以${\lim }_{x\to +\infty }(\frac{1}{2}{)}^x=0$。
• $(2){\lim }_{x\to -\infty }{2}^x=0$
• 证明：对于任意给定的$\epsilon >0$，要使$|2^x-0|=2^x<\epsilon$，两边取以$2$为底的对数可得$x<{\log }_2\epsilon$。取$M=-{\log }_2\epsilon$，则当$x<-M$时，有$|2^x-0|<\epsilon$成立。所以${\lim }_{x\to -\infty }{2}^x=0$。
• $(3){\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}$
• 证明：对于任意给定的$\epsilon >0$，要使$|\frac{1}{x}-0|=\frac{1}{|x|}<\epsilon$，即$|x|>\frac{1}{\epsilon }$。取$M=\frac{1}{\epsilon }$，则当$|x|>M$时，有$|\frac{1}{x}-0|<\epsilon$成立。所以${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$。

二、$x\to x_0$时$f(x)$的极限

通过观察当$x\to \frac{1}{2}$时，函数$y=2x+1$和$y=\frac{4x^2-1}{2x-1}$的变化趋势，来探究$x\to x_0$时函数极限的概念。

1. $y=2x+1$

观察以下表格：

$x$	0.4	0.45	0.48	0.49	0.499	0.4999	…	0.5	…	0.50001	0.5001	0.501	0.51
$f(x)$	1.8	1.9	1.96	1.98	1.998	1.9998	…	2	…	2.00002	2.0002	2.002	2.02

可以发现，当$x$从$\frac{1}{2}$的左右两侧逐渐接近$\frac{1}{2}$时，$f(x)$的值越来越接近常数“$2$”。当$x$从$\frac{1}{2}$左右无限接近$\frac{1}{2}$时，$f(x)$无限接近常数“$2$”，也就是$|f(x)-2|$无限小。此时，常数“$2$”就被称为当$x\to \frac{1}{2}$时函数$y=2x+1$的极限。

2. $y=\frac{4x^2-1}{2x-1}$

因为$y=\frac{4x^2-1}{2x-1}=2x+1$（$xeq\frac{1}{2}$），所以上述表格同样适用于该函数，只是$xeq\frac{1}{2}$且$yeq2$。同样地，当$x$从$\frac{1}{2}$左右两侧越来越接近$\frac{1}{2}$时，$f(x)$越来越接近常数“$2$”；当$x$从$\frac{1}{2}$左右无限接近$\frac{1}{2}$时，$f(x)$无限接近常数“$2$”，即$|f(x)-2|$无限小。所以，常数“$2$”也是当$x\to \frac{1}{2}$时函数$y=\frac{4x^2-1}{2x-1}$的极限。

综合上述两个例子可以看出，无论函数$f(x)$在$x_0$处是否有定义，只要当$x$无限接近$x_0$时，$f(x)$无限趋近于某个常数$A$，那么这个常数$A$就被称为函数$f(x)$当$x$无限接近$x_0$时的极限。

定义4：设$y=f(x)$在$x_0$的某去心邻域内有定义，$A$为常数。当$x$无限接近$x_0$时，如果$f(x)$无限趋近于常数$A$，那么$A$就称为函数$f(x)$当$x$无限接近$x_0$时的极限，记作${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$。

注：定义4是描述性定义。若要将其精确化，把“$f(x)$无限趋近于常数$A$”表示为“$\forall \epsilon >0,|f(x)-A|<\epsilon$”，把“$x$无限接近$x_0$”表示为“$\exists \delta >0,0<|x-x_0|<\delta$”（这里$\epsilon$和$\delta$都表示要多小有多小的正数） ，就得到了精确化定义：

定义4’：设$y=f(x)$在$x_0$的某去心邻域内有定义，$A$为常数。对于任意给定的正数$\epsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$x$满足$0<|x-x_0|<\delta$时，不等式$|f(x)-A|<\epsilon$恒成立，那么$A$就称为函数$f(x)$当$x$无限接近$x_0$时的极限，记作${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$。

例如，${\lim }_{x\to \frac{1}{2}}(2x+1)=2$，${\lim }_{x\to \frac{1}{2}}\frac{4x^2-1}{2x-1}=2$。

注：

• $1^{\circ }$ ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$的存在与否和$f(x)$在$x_0$处是否有定义无关。这是函数极限的一个重要性质，像前面提到的$y=\frac{4x^2-1}{2x-1}$在$x=\frac{1}{2}$处无定义，但$x\to \frac{1}{2}$时极限存在。
• $2^{\circ }$ $x\to x_0$的方式包含两种，即$x$从$x_0$左侧无限接近$x_0$（记为(x \to x_0^{-})）和$x$从$x_0$右侧无限接近$x_0$（记为$x\to x_0^{+}$）。只有当$x\to x_0^{-}$和$x\to x_0^{+}$时$f(x)$的极限都存在且相等，${\lim }_{x\to x_0}f(x)$才存在。

3. 几何解释

函数$y=f(x)$在$x\to x_0$时极限为$A$的几何意义是：对于任意给定的正数$\epsilon$，在平面直角坐标系中，作两条平行直线$y=A+\epsilon$和$y=A-\epsilon$，总存在一个正数$\delta$，使得在$x_0$的去心邻域$(x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$内，函数$y=f(x)$的图像位于这两条平行直线之间。

例如，对于函数$y=3x-2$，当$x\to 2$时，${\lim }_{x\to 2}(3x-2)=4$。在几何上，给定一个任意小的正数$\epsilon$，以$y=4+\epsilon$和$y=4-\epsilon$为边界作两条直线，总能找到一个正数$\delta$，使得当$x$在区间$(2-\delta ,2)\cup (2,2+\delta )$内取值时，函数$y=3x-2$的图像都在这两条直线之间。

例1：利用定义证明

• $(1){\lim }_{x\to 2}(3x-2)=4$
• 证明：对于任意给定的$\epsilon >0$，要使$|(3x-2)-4|=|3x-6|=3|x-2|<\epsilon$，只要$|x-2|<\frac{\epsilon }{3}$。取$\delta =\frac{\epsilon }{3}$，当$0<|x-2|<\delta$时，就有$|(3x-2)-4|<\epsilon$成立，所以${\lim }_{x\to 2}(3x-2)=4$。
• $(2)$当$x_0>0$时，${\lim }_{x\to x_0}\sqrt{x}=\sqrt{x_0}$
• 证明：对于任意给定的$\epsilon >0$，要使$|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|<\epsilon$，即$|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}|<\epsilon$。因为$x\to x_0$，不妨先限制$x$的范围，设$|x-x_0|<x_0$，即$0<x_0-|x-x_0|<x<x_0+|x-x_0|$，所以$\sqrt{x}>\sqrt{x_0-|x-x_0|}$，进而$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}<\frac{1}{\sqrt{x_0-|x-x_0|}+\sqrt{x_0}}$。

此时$|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}|<\frac{|x-x_0|}{\sqrt{x_0-|x-x_0|}+\sqrt{x_0}}$ ，要使$\frac{|x-x_0|}{\sqrt{x_0-|x-x_0|}+\sqrt{x_0}}<\epsilon$，只要$|x-x_0|<(\sqrt{x_0-|x-x_0|}+\sqrt{x_0})\epsilon$。

取 δ = min ⁡ { x 0 , ( x 0 − ∣ x − x 0 ∣ + x 0 ) ε } \delta = \min\{x_0, (\sqrt{x_0 - \vert x - x_0\vert} + \sqrt{x_0})\varepsilon\} δ=min{x0​,(x0​−∣x−x0​∣ ​+x0​ ​)ε}，当$0<|x-x_0|<\delta$时，就有$|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|<\epsilon$成立，所以当$x_0>0$时，${\lim }_{x\to x_0}\sqrt{x}=\sqrt{x_0}$。

• ${\lim }_{x\to x_0}C=C$（$C$为常数）
• 证明：对于任意给定的$\epsilon >0$，要使$|C-C|=0<\epsilon$恒成立。此时对于任意的$\delta >0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时，$|C-C|<\epsilon$都成立，所以${\lim }_{x\to x_0}C=C$。
• ${\lim }_{x\to \frac{1}{2}}\frac{4x^2-1}{2x-1}=2$
• 证明：因为$\frac{4x^2-1}{2x-1}=2x+1$（$xeq\frac{1}{2}$），对于任意给定的$\epsilon >0$，要使$|\frac{4x^2-1}{2x-1}-2|=|2x+1-2|=|2x-1|=2|x-\frac{1}{2}|<\epsilon$，只要$|x-\frac{1}{2}|<\frac{\epsilon }{2}$。取$\delta =\frac{\epsilon }{2}$，当$0<|x-\frac{1}{2}|<\delta$时，就有$|\frac{4x^2-1}{2x-1}-2|<\epsilon$成立，所以${\lim }_{x\to \frac{1}{2}}\frac{4x^2-1}{2x-1}=2$。

作业与参考答案

1. 利用极限定义证明：

• ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x}=0$
• 证明：对于任意给定的$\epsilon >0$，要使$|\frac{1}{x}-0|=\frac{1}{x}<\epsilon$，只要$x>\frac{1}{\epsilon }$。取$M=\frac{1}{\epsilon }$，当$x>M$时，$|\frac{1}{x}-0|<\epsilon$成立，所以${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x}=0$。
• ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{1}{x}=0$
• 证明：对于任意给定的$\epsilon >0$，要使$|\frac{1}{x}-0|=\frac{1}{|x|}<\epsilon$，即$|x|>\frac{1}{\epsilon }$，也就是$x<-\frac{1}{\epsilon }$。取$M=\frac{1}{\epsilon }$，当$x<-M$时，$|\frac{1}{x}-0|<\epsilon$成立，所以${\lim }_{x\to -\infty }\frac{1}{x}=0$。
• ${\lim }_{x\to 3}(3x-1)=8$
• 证明：对于任意给定的$\epsilon >0$，要使$|(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|<\epsilon$，只要$|x-3|<\frac{\epsilon }{3}$。取$\delta =\frac{\epsilon }{3}$，当$0<|x-3|<\delta$时，$|(3x-1)-8|<\epsilon$成立，所以${\lim }_{x\to 3}(3x-1)=8$。

三、单侧极限

在前面的讨论中，我们探讨了极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$，其中自变量的变化趋势 $x\to x_0$ 表示 x 从 $x_0$ 左右两侧无限接近 $x_0$。然而，在某些函数中，自变量 x 只能从一侧无限接近 $x_0$，例如 $f(x)=\sqrt{x}(x>0)$，自变量 x 只能从 0 的右侧无限接近 0（我们用 $x\to 0^{+}$ 来表示）。因此，需要讨论当自变量 x 从 $x_0$ 的右侧无限接近 $x_0(x\to x_0^{+})$ 和当自变量 x 从 $x_0$ 的左侧无限接近 $x_0(x\to x_0^{-})$ 时函数的极限，即单侧极限（左右极限）。

1. 左极限

定义 5: 设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的左邻域内有定义，A 为常数，当 x 从 $x_0$ 的左侧无限接近 $x_0(x\to x_0^{-})$ 时，函数 f(x) 无限接近 A，则常数 A 称为当 $x\to x_0^{-}$ 时的极限，即左极限，记作 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=A$。

定义 5’: 设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的左邻域内有定义，A 为常数， $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$ ，当 x 满足 $x_0-\delta <x<x_0$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 成立，则 A 称为当 $x\to x_0^{-}$ 时的极限，即左极限，记作 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=A$。

类似有右极限的定义。

2. 右极限

定义 6: 设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的右邻域内有定义，A 为常数，当 x 从 $x_0$ 的右侧无限接近 $x_0(x\to x_0^{+})$ 时，函数 f(x) 无限接近 A，则常数 A 称为当 $x\to x_0^{+}$ 时的极限，即右极限，记作 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=A$。

定义 6’: 设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的右邻域内有定义，A 为常数， $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$ ，当 x 满足 $x_0<x<x_0+\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 成立，则 A 称为当 $x\to x_0^{+}$ 时的极限，即右极限，记作 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=A$。

例如：${\lim }_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}=0$。

例 1: 考查下列函数在 $x=0$ 处的左右极限

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x,& x<0\\ x,& x\ge 0\end{array}$$

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1+x^2,& x<0\\ 0,& x=0\\ 2^x,& x>0\end{array}$$

$$f(x)=\{\begin{array}{lc}x-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ x+1,& x>0\end{array}$$

注:

• $1^{\circ }$ ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\iff {\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=A$ ;
• $2^{\circ }$ ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)\Rightarrow {\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 不存在。

例 2: 设 $f(x)=\{\begin{array}{lc}2x+1,& x\le 1\\ x^2-x+3,& 1<x\le 2\\ x^3-1,& x>2\end{array}$，讨论极限 ${\lim }_{x\to 1}f(x)$，${\lim }_{x\to 2}f(x)$。

四、函数极限的性质

函数极限的性质与数列极限的性质类似，因此，下面以 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 为代表给出极限的性质，不予证明。

(1) 唯一性: 若极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在，则极限必唯一。

(2) 局部有界性: 若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在，则 f(x) 在 $x_0$ 的某去心邻域内有界。

注: 数列极限的有界性是指整个数列有界，函数在 $x_0$ 处极限的有界性是指函数在 $x_0$ 的某邻域内（$x_0$ 附近）有界。

(3) 局部保号性: 若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A>0$ （或 $A<0$），则存在 $\delta >0$，当 x 满足 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，有 f(x)>0（或 f(x)<0）。

注:

• $1^{\circ }$ 数列极限的保号性是指从某一项 N 起，后面的所有项的符号都有极限值的符号保持一致，函数极限的保号性是指在 $x_0$ 的某一去心邻域内函数值的符号与极限值的符号保持一致。
• $2^{\circ }$ 若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，且 $f(x)\ge 0$ （或 $f(x)\le 0$），则 $A\ge 0$ （或 $A\le 0$）。

(4) 不等式性质: 设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 与 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)$ 都存在，且在 $x_0$ 的某一去心邻域内有 $f(x)\le g(x)$，则 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)\le {\lim }_{x\to x_0}g(x)$。

注: 函数极限的不等式性质表明：不等式两端可以同时求极限（同一变化过程），不等式方向不变。

(5) 迫敛性: 设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)={\lim }_{x\to x_0}g(x)=A$，且在 $x_0$ 的某一去心邻域内有 $f(x)\le h(x)\le g(x)$，则 ${\lim }_{x\to x_0}h(x)=A$。

(6) 归结原则（海涅定理）

lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A ⇔ 对任意的数列 { x n } 满足 lim ⁡ n → ∞ x n = x 0 , 有 lim ⁡ n → ∞ f ( x n ) = A 。 \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=A \Leftrightarrow \text{对任意的数列}\left\{x_n\right\}\text{满足}\lim_{n\rightarrow\infty} x_n=x_0,\quad\text{有}\lim_{n\rightarrow\infty} f\left(x_n\right)=A\text{。} x→x0​lim​f(x)=A⇔对任意的数列{xn​}满足n→∞lim​xn​=x0​,有n→∞lim​f(xn​)=A。

注: 归结原则给出了数列极限与函数极限之间的关系，该原则表明：若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，则凡是以 $x_0$ 为极限值的数列 { x n } \left\{x_n\right\} {xn​}，对应的函数值数列 { f ( x n ) } \left\{f\left(x_n\right)\right\} {f(xn​)} 的极限一定也是 A，反之亦然。归结原则还说明：若两个数列 { x n } n { x n ′ } \left\{x_n\right\}_n\left\{x_n^{\prime}\right\} {xn​}n​{xn′​} 都以 $x_0$ 为极限值，但 ${\lim }_{n\to \infty }f\left(x_n\right)\ne {\lim }_{n\to \infty }f\left(x_n^{\prime }\right)$，则极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 不存在。例如：${\lim }_{x\to 0}\sin \frac{1}{x}\text{ 不存在}$（可选子列 $x_n^{(1)}=\frac{1}{n\pi },x_n^{(2)}=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}$，${\lim }_{n\to \infty }{x}_n^{(1)}={\lim }_{n\to \infty }{x}_n^{(2)}=0$，但 ${\lim }_{n\to \infty }f\left(x_n^{(1)}\right)=0,{\lim }_{n\to \infty }f\left(x_n^{(2)}\right)=1$）。

五、函数极限的四则运算

设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A,{\lim }_{x\to x_0}g(x)=B$，则

(1) ${\lim }_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))={\lim }_{x\to x_0}f(x)\pm {\lim }_{x\to x_0}g(x)=A\pm B$;

(2) ${\lim }_{x\to x_0}(f(x)\times g(x))={\lim }_{x\to x_0}f(x)\times {\lim }_{x\to x_0}g(x)=A\times B$;

(3) ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{{\lim }_{x\to x_0}f(x)}{{\lim }_{x\to x_0}g(x)}=\frac{A}{B}$。

注:

• $1^{\circ }$ 极限的四则运算法则对 $x\to x_0^{+},x\to x_0^{-},x\to \infty ,x\to +\infty ,x\to -\infty$ 均适用;
• $2^{\circ }$ 极限的和、差、积的运算可以推广到有限个函数:
• $3^{\circ }$ 运用极限的四则运算时每个函数的极限必须是存在的;
• $4^{\diamond }{\lim }_{x\to x_0}cf(x)=c{\lim }_{x\to x_0}f(x)$。

例 1: 计算极限

(1) ${\lim }_{x\to \infty }\frac{4x^3+2x^2-1}{3x^3+x}$

(2) ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}-1}$

(3) ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\sqrt{x^2+x-1}-\sqrt{x^2-x+1}\right)$

(4) ${\lim }_{x\to 2}\frac{2x^2+x-3}{3x+1}$

(5) ${\lim }_{x\to 2}\frac{5x}{x^2-4}$

(6) ${\lim }_{x\to 3}\frac{x-3}{x^2-9}$

(7) ${\lim }_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

(8) ${\lim }_{x\to -2}\left(\frac{1}{x+2}-\frac{12}{x^3+8}\right)$

例 2: 设 KaTeX parse error: Unexpected end of input in a macro argument, expected '}' at end of input: …{array} \right.，计算 ${\lim }_{x\to 0}f(x),{\lim }_{x\to 1}f(x),{\lim }_{x\to +\infty }f(x),{\lim }_{x\to -\infty }f(x)$。

六、复合函数的运算法则

设复合函数 $y=f[g(x)]$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有定义，若 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=u_0,{\lim }_{u\to u_0}f(u)=A$，则

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f[g(x)]=A$$

证明: 由 ${\lim }_{u\to u_0}f(u)=A\Rightarrow \forall \epsilon >0,\exists \eta >0$，当 $0<\left|u-u_0\right|<\eta$ 时，有 $\left|f(u)-A\right|<\epsilon$ 成立，又

${\lim }_{x\to x_0}g(x)=u_0\Rightarrow$ 对上述 $\eta >0,\exists \delta >0$，当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，有 $\left|g(x)-u_0\right|<\eta$，即

$\left|u-u_0\right|<\eta$，因此，有 $\left|f[g(x)]-A\right|<\epsilon$ 成立，即证。

注:

• $1^{\circ }$ 该运算法则给出了复合函数求极限时可以换元的方法。

例如：求 ${\lim }_{x\to 1}\sqrt{\frac{x^2-1}{x-1}}$，令 $u=\frac{x^2-1}{x-1},f(u)=\sqrt{u},{\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,{\lim }_{u\to 2}\sqrt{u}=\sqrt{2}$，所以

$$\underset{x\to 1}{\lim }\sqrt{\frac{x^2-1}{x-1}}=\sqrt{2}.$$

• $2^{\circ }$ 特别的，若 ${\lim }_{x\to x_0}f(u)=u_0$（即外函数 f(u) 连续），则 ${\lim }_{x\to x_0}f[g(x)]=f\left[{\lim }_{x\to x_0}g(x)\right]$，即

若复合函数的外函数是连续函数时，极限符号 ${\lim }_{x\to x_0}$ 与外函数 f 可以交换次序。

例如：${\lim }_{x\to 1}\sqrt{\frac{x^2-1}{x-1}}=\sqrt{{\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}}=\sqrt{2}$。

作业:

1. 设函数 $y=f(x)$ 图像如图所示，观察下列极限。

(1) ${\lim }_{x\to -2}f(x)$

(2) ${\lim }_{x\to -1}f(x)$

(3) ${\lim }_{x\to 0}f(x)$
2. 函数 $y=f(x)$ 图像如图所示，判断下列极限结果是否正确，错误的加以改正。

(1) ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=1$

(2) ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)$

(3) ${\lim }_{x\to 0}f(x)=1$

(4) ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1$

(5) ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=0$
3.
$$f(x)=\{\begin{array}{l}3x+2,x\le 0\\ x^2+1,0<x\le 1,\\ \frac{2}{x},x>1\end{array}$$分别讨论极限${\lim }_{x\to 0}f(x),{\lim }_{x\to 1}f(x)$是否存在。

**4.**计算下列函数极限

(1) ${\lim }_{x\to \infty }\frac{2x+3}{6x-1}$

(2) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{{\left(\sqrt{x^2+1}+2x\right)}^2}{3x^2+1}$

(3) ${\lim }_{x\to \infty }\frac{(2x-1{)}^{30}(3x-2{)}^{20}}{(2x+1{)}^{50}}$

(4) ${\lim }_{x\to +\infty }(\sqrt{(x+p)(x+q)}-x)$

(5) ${\lim }_{x\to 0}\frac{x-5}{x-3}$

(6) ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-3}{x-2}$

(7) ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2}{1-\sqrt{1+x^2}}$

(8) ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$

参考答案：

1.

2.

3.

4.