扩展中国剩余定理

中国剩余定理

中国剩余定理

考虑一组模线性同余方程：

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}m1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}m2)\\ .\\ .\\ .\\ x\equiv a_k(\mathrm{mod}mk)\end{array}$

其中，$a_1,a_2,...,a_k$是给定整数，而$m_1,m_2,...,m_k$是两两互质的正整数。

具体步骤如下：

计算模数的乘积：$ M = m_1 ⋅m_2⋅…⋅m_k$

计算辅助模数： 对于每个 i，计算 $M_i=M/m_i$

计算模反元素： 对于每个 i，找到 $M_i^{-1}$，使得$M_i\cdot M_i^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}{m}_i)$。

计算解： 最终解 x 由以下公式给出：$\left ( a_1\cdot M_1 \cdot M_1^{-1}+a_2\cdot M_2 \cdot M_2^{-1}+…+a_k\cdot M_k \cdot M_k^{-1}\right ) \bmod M $

中国剩余定理在密码学、编码理论、计算机科学等领域有着广泛的应用。它不仅用于解决同余方程组，还被应用于很多领域，例如数据传输、数字签名等。

扩展中国剩余定理

考虑一组模线性同余方程：

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}m1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}m2)\\ .\\ .\\ .\\ x\equiv a_k(\mathrm{mod}mk)\end{array}$

其中，$a_1,a_2,...,a_k$是给定整数，而$m_1,m_2,...,m_k$是正整数。

$x=k_1{m}_1+a_1$,$x=k_2{m}_2+a_2$。

所以 $k{m}_1+a_1=k{m}_2+a_2$

从而 $k_1{m}_1-k_2{m}_2=a_2-a_1$,其中$k_1,k_2$未知。

$k_{1}min=((k_0\cdot \frac{a_2-a_1}{gcd(m_1,m_2)})\%\frac{m_2}{gcd(m_1,m_2)}+\frac{m_2}{gcd(m_1,m_2)})\%\frac{m_2}{gcd(m_1,m_2)}$。

其中$k_0$为$k_1{m}_1-k_2{m}_2=gcd(m_1,m_2)$的特解，$k_{1}min$为最小正整数解。

$x=(k_{1}min+k\cdot \frac{m_2}{gcd(m_1,m_2)})m_1+a_1=\frac{m_1{m}_2}{gcd(m_1,m_2)}k+k_{1}min+a_1$

$m_1=\frac{m_1{m}_2}{gcd(m_1,m_2}$，$a_1=k_{1}min+a_1$。

代码实现

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>using namespace std;typedef __int128 ll;int n;ll read() {ll x = 0, f = 1;char c = getchar();while (c < '0' || c>'9') {if (c == '-') f = -1;c = getchar(); }while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();return x * f;
}
void write(ll x) {if(x == 0){putchar('0');return;}if(x < 0) putchar('-'), x = -x;if(x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');
}ll my_abs(ll x){return x >= 0 ? x : -x;
}
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){if(b == 0){x = 1, y = 0;return a;}ll d = exgcd(b, a % b, x, y);ll t = x;x = y;y = t- a / b * y;return d;
}int main(){cin >> n;ll m1, a1, m2, a2, k1, k2;m1 = read(), a1 = read();bool flag = false;for (int i = 1; i <= n-1; i++){m2 = read(), a2 = read();ll d = exgcd(m1, m2, k1, k2);if ((a2 - a1) % d){flag = true;continue;}	ll r = my_abs(m2 / d);k1 = (((k1 * (a2 - a1) / d ) % r) + r) % r;a1 = m1 * k1 + a1, m1 =  m2 / d * m1;}if (flag)	puts("-1");else write(a1);return 0;
} 

例题

1. 表达整数的奇怪方式

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>using namespace std;typedef long long ll;int n;ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){if(b == 0){x = 1, y = 0;return a;}ll d = exgcd(b, a%b, x, y);ll t = x;x = y;y = t- a / b * y;return d;
}/*
x=ka+m
x=k1*a1+m1=k2*a2+m2
k1*a1-k2*a2=m2-m1
k1*a1+k2*a2=m2-m1
k0=(k1*(m2-m1)/d%(a2/d)+a2/d)%(a2/d)  其中：k0为最小正整数解x=(k0+k*a2/d)*a1+m1=a1*a2/d*k+k0*a1+m1
a1=a1*a2/d,m1=k0*a1+m1; 
*/int main(){ll a1, a2, m1, m2, k1, k2;scanf("%d", &n);scanf("%lld%lld", &a1, &m1);bool f = 0;for(int i=1; i <= n-1; i++){scanf("%lld%lld", &a2, &m2);ll d = exgcd(a1, a2, k1, k2);if((m2 - m1) % d){f = 1;continue;}ll k0 = (k1 * (m2 - m1) / d % (a2 / d) + a2 / d) % (a2 / d);m1 = k0 * a1 + m1, a1 = a1 * a2 / d;// m1=k0*a1+m1 和  a1=a1*a2/d  顺序不能换 }if(f)	puts("-1");else	printf("%lld\n", m1);return 0;
}