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【专题四】前缀和（3）

news 来源：原创 2025/4/29 6:02:31

📝前言说明：

本专栏主要记录本人的基础算法学习以及LeetCode刷题记录，按专题划分
每题主要记录：（1）本人解法 + 本人屎山代码；（2）优质解法 + 优质代码；（3）精益求精，更好的解法和独特的思想（如果有的话）
文章中的理解仅为个人理解。如有错误，感谢纠错

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📋本专栏：C++刷题专栏
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974. 和可被 K 整除的子数组
- 个人解
- 优质解
525. 连续数组
- 个人解
- 优质解
1314. 矩阵区域和
- 个人解

974. 和可被 K 整除的子数组

题目链接：974. 和可被 K 整除的子数组

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个人解

思路：
和上篇文章的第三题一样，但是，因为哈希表里面可能有多个前缀和都满足要求，而我没想到如何快速搜索到这些前缀和。
暴力解法：O( $n^2$ )是过不了的。

优质解

思路：

哈希表里面有多个前缀和满足要求是因为：可能出现dp[x2] = dp[x1] + k的情况（即两数之间差nk），导致对于dp[i]，可能有多个前缀和与之匹配。那如何保证唯一且能把这些数全部统计到呢？
我们可以在记录前缀和的时候，不记录前缀和，而是记录前缀和 % k的余数。
因为：如果(dp[i] - dp[x]) % k == 0，则dp[i] % k == dp[x] % k
细节问题：我们的数组中有负数，但是C++ 中的取模性质：负数 % 正数 == 负数。所以我们要对模出来的结果进行修正
修正：对于负数结果修正：余数 = dp[i] % k + k，但是为了正负数同一：余数 = (dp[i] % k + k) % k

代码：

class Solution {
public:int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {unordered_map<int, int> hash;int ans = 0, sum = 0;hash[0] = 1;for(auto x: nums){sum += x; // sum代表当前位置的前缀和int modulus = (sum % k + k) % k;if(hash.count(modulus)) ans += hash[modulus];hash[modulus]++;}return ans;}
};

时间复杂度：O( $n$ )
空间复杂度：O( $n$ )

525. 连续数组

题目链接：525. 连续数组

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个人解

思路：
脑子锈了，只能想到O( $n^2$ )的解法。

优质解

思路：

把 0 变-1
问题变成：找子数组所有元素和为0的最长子数组。
细节1：哈希表存储什么？答：<前缀和，下标>，并且如果遇到相同的前缀和，下标大的不存（因为子数组短）
细节2：当前位置的信息使用完以后才存入哈希表，不然dp[i] - dp[i]这个子数组实际为空
细节3：默认前缀和0的位置要存在-1

代码：

class Solution {
public:int findMaxLength(vector<int>& nums) {int ans = 0, sum = 0;unordered_map<int, int> hash;hash[0] = -1;for(int i = 0; i < nums.size(); i++){sum += (nums[i] == 0? -1 : 1);if(hash.count(sum)) ans = max(ans, i - hash[sum]);elsehash[sum] = i;}return ans;}
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

1314. 矩阵区域和

题目链接：1314. 矩阵区域和

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个人解

这道题和文章中第二题很像，这道题麻烦在下标对应。
思路：

题意：answer中每一格表示的是：以mat[r][c]为中心的，边长为2k+1的正方形中所有元素（且在mat中）的和
建立一个二维前缀和数组：dp[i][j]代表mat 的 [0, 0]到[i, j]这个矩阵内的元素和
然后利用这个前缀和数组来填写answer
下标对应：初始化时：因为mat的元素是从下标[0, 0]开始的，所以dp[i][j]加的应该是mat[i - 1][j - 1]
使用时：dp[1][1]才对应mat的第一个元素，所以，在使用dp的时候下标都要-1

用时：20:00
屎山代码：

class Solution {
public:vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) {int m = mat.size(), n = mat[0].size();vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));vector<vector<int>> answer(m, vector<int>(n, 0));// 初始化前缀和数组for(int i = 1; i <= m; i++){for(int j = 1; j <= n; j++)dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1];}for(int i = 0; i < m; i++){for(int j = 0; j < n; j++){int x1 = max(0, i - k);int y1 = max(0, j - k);int x2 = min(m - 1, i + k);int y2 = min(n - 1, j + k);answer[i][j] = dp[x2 + 1][y2 + 1] - dp[x1][y2 + 1] - dp[x2 + 1][y1] + dp[x1][y1];}}return answer;}
};