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1.8空间几何与场论

news 来源：原创 2025/4/29 7:04:47

引言

空间几何与场论初步涵盖向量运算、空间几何体建模及场论核心概念。本文系统梳理2大考点，结合公式速查与典型示例，助你高效攻克空间解析几何与场论难点！

考点一：向量代数与空间几何

1️⃣ 向量运算

(1) 基本运算

运算类型	公式/定义	几何意义
线性运算	$\vec{a} \pm \vec{b}$	向量叠加或反向
数量积	$\vec{a} \cdot \vec{b} = ab\cos\theta$	投影长度与夹角余弦
向量积	$\vec{a} \times \vec{b} = ab\sin\theta \,$	垂直于两向量的新向量
混合积	$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$	平行六面体体积的带符号值

示例：
已知 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (4, 5, 6)$ ，求 $\vec{a} \times \vec{b}$ 。
解：
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = (-3, 6, -3)$

(2) 向量关系

关系类型	判定条件	示例
垂直	$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$	$\vec{a} = (1,0,0), \vec{b} = (0,1,0)$
平行	$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$	$\vec{a} = (2,4,6), \vec{b} = (1,2,3)$
共面	$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$	三点共面时向量混合积为0

2️⃣ 空间几何

(1) 平面与直线

类型	方程形式	参数说明
平面方程	点法式： $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$	$(A, B, C)$ 为法向量
	一般式： $A x + B y + C z + D = 0$
直线方程	点向式： $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$	$(m, n, p)$ 为方向向量
	参数式： $\begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + pt \end{cases}$

平面与直线关系：

相交：直线方向向量与平面法向量不垂直（ $\vec{s} \cdot \vec{n} \neq 0$ ）。
平行： $\vec{s} \cdot \vec{n} = 0$ 且点不在平面上。
直线在平面内：方向向量与法向量垂直，且点满足平面方程。

(2) 旋转曲面与柱面

曲面类型	方程推导方法	示例
旋转曲面	绕轴旋转，该轴变量不动	$f (y, z) = 0$ 绕y轴旋转得 $f(y,\pm {}\sqrt{x^2+z^2})=0$
柱面	消去一个变量（如 $F (x, y) = 0$ 表示母线平行于z轴的柱面）	$x^2 + y^2 = R^2$ 表示圆柱面
投影曲线	消元法

(3) 切线、法平面与投影

对象	方程形式	关键向量
曲面法线	$\frac{x-x_0}{F_x} = \frac{y-y_0}{F_y} = \frac{z-z_0}{F_z}$	法向量 $\nabla F$
曲线切线	参数式： $\frac{dx}{dt} = x'(t),\ \frac{dy}{dt} = y'(t),\ \frac{dz}{dt} = z'(t)$	切向量 $\vec{T} = (x', y', z')$
投影曲线	消去z轴得 $F (x, y) = 0$	投影到xy平面

考点二：场论公式

1️⃣ 方向导数

定义：函数 $f (x, y, z)$ 在点 $P_0$ 沿方向 $\vec{l}$ 的变化率。
公式：
$D_{\vec{l}} f = \nabla f \cdot \frac{\vec{l}}{|\vec{l}|} = f_x \cos\alpha + f_y \cos\beta + f_z \cos\gamma$
示例：
求 $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ 在点 $(1, 1, 1)$ 沿方向 $\vec{l} = (1,1,1)$ 的方向导数。
解：梯度 $\nabla f = (2x, 2y, 2z)$ ，方向导数为 $\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ 。

2️⃣ 梯度

定义：标量场 $f (x, y, z)$ 的梯度为向量场，指向函数增长最快的方向。
公式：
$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$
性质：梯度的方向是等值面的法线方向。

3️⃣ 散度

定义：向量场 $\vec{F} = (P, Q, R)$ 的散度表示场的发散程度。
公式：
$\text{div}\, \vec{F} = abla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
物理意义：通量密度，如流体膨胀速率。

4️⃣ 旋度

定义：向量场 $\vec{F}$ 的旋度表示场的旋转特性。
公式：

$\vec{rot}A = \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ dx& dy & dz \\ P & Q & R \end{bmatrix}$

$\text{rot}\, \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$
物理意义：环流量密度，如磁场方向。

公式速查表

类型	公式	应用场景
方向导数	$D_{\vec{l}} f = \nabla f \cdot \frac{\vec{l}}{l}$	梯度方向变化率
梯度	$\nabla f = (\partial_x f, \partial_y f, \partial_z f)$	优化问题、等值面分析
散度	$\text{div}\, \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F}$	高斯定理、流体力学
旋度	$\text{rot}\, \vec{F} = \nabla \times \vec{F}$	安培环路定理、涡旋场