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CF1305C Kuroni and Impossible Calculation

news 来源：原创 2025/4/28 18:31:01

题目大意

给定一个长度为 n 的数组，数组元素互不相同，输出所有满足 1 <= i < j <=n 的| a[i] - a[j] |的乘积对m取模后的结果。

题目分析

一开始可能没什么思路，想到暴力。但是，2e5的数据范围，用暴力的O( $n^{2}$ )肯定是无法做到的。

（对于数学比较好的同学，可以看一下这一段；但是，正解在这一段后面，此处只列出一种可能性）那么，我们对乘法的式子进行一下分析，发现，它符合范德蒙行列式：

那么，就可以考虑用FFT（快速傅里叶变换）或其他快速多项式算法，将时间复杂度压缩到O（nlogn），那么应该就能做了。

但是，作者数学不太好（恼），没有办法优化时间复杂度，那就只能优化数据范围了。

首先，对于数组a中的元素，如果存在任意 i ，j 满足| a[i] - a[j] |%m等于0，那么，不管其他情况如何，最终结果一定是0。所以，只要在输入的时候，判断一下，有没有两个元素对m取模后的结果相同（即，差为m的倍数）的情况，有则输出0，反之则暴力计算即可。

为什么加上这个条件，就可以暴力了呢？

注意到，任意一个数对m的取模结果必然在[0,m-1]区间内，也就是有m种可能性。那么，当数组大小n大于m时，必然存在一个值满足至少为两个数组元素取模后的结果，即存在i ，j 满足| a[i] - a[j] |%m等于0，那么最终答案一定为0。也就是说，我们只需要暴力运算 n < m 的情况，即把数据压缩到了1e3的范围，这个就可以用暴力的方法计算了。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
int n, m, a[200010];
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++)cin >> a[i];
    if (n > m)cout << "0";//如果n > m则答案为0，反之暴力运算
    else {
        long long ans = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                ans = (ans * abs(a[i] - a[j])) % m;
            }
        }
        cout << ans;
    }
}