最长公共子序列

一、题目

二、思路

这道题是一个很经典的DP问题，那么我们来看一下如何分析。

DP问题我们需要考虑两个问题：第一个问题就是状态转移方程的书写，第二个问题就是我们如何去设计循环。

第一个问题的作用是有效地实现状态之间的转移，第二个问题的作用是保证我们能够从小到大，不重不漏的枚举出每一个子问题。

1、状态转移方程

（1）状态表示

状态的表示一个关键因素就是能够表示这个问题的规模大小。
由于这道题设计到了两个字符串，那么我们利用$f(i,j)$来表示，$f(i,j)$的意思是，从左向右看，以第$i$个字母结尾的字符串1和以第$j$个字母结尾的字符串2之间最长的公共子序列长度。而这个长度要存储在二维数组$f[i][j]$中。

（2）状态转移

状态转移的目的是利用子问题间接地去解决问题。
根据我们的状态表示，我们只知道每个字符串的最后一个字符。那么我们就从此入手。

对于最长公共子序列而言，其实无非就4种情况，要么肯定不包含字符串1中的第$i$个字母，要么肯定不包含字符串2中的第$j$个字母，要么肯定不包含两个字母，要么肯定都包含。两个都包含的话其实是有前提的，那么就是$str1[i]=str2[j]$，如果已经确定了我们要选最后一个字符的话，我们第四种情况就可以写成：$f[i]-1[j-1]+1$。

那么我们怎么知道这四种情况哪个是最长的呢？我们只需要比较一下求一下最大值即可。

那么我们此时来考虑一下，这几个情况之间是否有重合的部分呢？其实是有的。

我们以$f[i][j]$为例，按照刚刚的思路我们需要比较的是：$f[i-1][j-1]$，$f[i-1][j]$，$f[i][j-1]$，$f[i-1][j-1]+1$
我们分类的方式是肯定不包含某个字母，但是另一个字母是可能包含可能不包含，是否包含的情况其实根据两种情况下的公共序列长度而定的，也就是说我们在分析$f[i-1][j]$，$f[i][j-1]$这两种情况的时候，就已经考虑到了$f[i-1][j-1]$的情况。

因此我们只需要考虑最后三种情况。

那么我们的状态转移方程可以写成

$$f(i,j)=\{\begin{array}{ll}max(f(i,j-1),f(i-1,j))& i\ne j\\ max(f(i,j-1),f(i-1,j),f(i-1,j-1)+1)& i=j\end{array}$$

2、循环设计

我们的外层循环设计为一个字符串长度，第二层循环设计为另一个字符串的长度。这样我们就能逐步地扩大问题规模。

这种循环设计是很常用的。比如背包问题中，我们就经常这样设计。

三、代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int f[N][N];
int n,m;
char s1[N],s2[N];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    scanf("%s%s",s1+1,s2+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i-1][j]);
            if(s1[i]==s2[j])f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
}