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BFS，DFS带图详解+蓝桥杯算法题+经典例题

news 来源：原创 2025/4/28 0:04:55

1.BFS和DFS的定义与实现方式

1.1 深度优先搜索（DFS）

基本概念：DFS 是一种用于遍历或搜索图或树的算法。它从起始节点开始，沿着一条路径尽可能深地探索下去，直到无法继续或者达到目标节点，然后回溯到上一个节点，继续探索其他路径。

实现方式：

通常使用递归或者栈（Stack）来实现。在递归实现中，函数不断调用自身来深入探索下一个节点；在使用栈的实现中，将节点压入栈中，每次从栈顶取出节点进行处理，并将其未访问的邻接节点压入栈中。

例如，对于一个图结构 graph = {"A": ["B", "C"], "B": ["D"], "C": ["E"], "D": [], "E": []}，从节点 "A" 开始 DFS 搜索，首先访问 "A"，然后选择 "B" 进行深入探索，访问 "B" 后再访问 "D"，当 "D" 没有未访问的邻接节点时，回溯到 "B"，由于 "B" 的邻接节点都已访问，再回溯到 "A"，接着选择 "C" 进行深入探索，以此类推。

1.2 广度优先搜索（BFS）

基本概念：BFS 也是一种用于遍历或搜索图或树的算法。它从起始节点开始，首先访问起始节点的所有邻接节点，然后再依次访问这些邻接节点的邻接节点，以此类推，一层一层地向外扩展，直到找到目标节点或者遍历完整个图或树。

实现方式：

通常使用队列（Queue）来实现。将起始节点放入队列中，每次从队列头部取出一个节点进行处理，并将其未访问的邻接节点依次放入队列尾部。

例如，对于图结构 graph = {"A": ["B", "C"], "B": ["D"], "C": ["E"], "D": [], "E": []}，从节点 "A" 开始 BFS 搜索，首先将 "A" 放入队列，然后取出 "A" 并访问它，将 "A" 的邻接节点 "B" 和 "C" 放入队列；接着从队列中取出 "B" 并访问它，将 "B" 的邻接节点 "D" 放入队列；再取出 "C" 并访问它，将 "C" 的邻接节点 "E" 放入队列，依此类推。

 2.基本代码实现

将上图转化为graph邻接表

graph={ "A":["B","C"],
        "B":["A","C","D"],
        "C":["A","B","D","E"],
        "D":["B","C","E","F"],
        "E":["C","D"],
        "F":["D"]
        }

2.1 DFS实现对上图的寻找

graph={ "A":["B","C"],
        "B":["A","C","D"],
        "C":["A","B","D","E"],
        "D":["B","C","E","F"],
        "E":["C","D"],
        "F":["D"]
        }
def bfs(graph,s):
    stack=[]
    seen=set()
    #建立一个空集合，用于后续检查元素是否已经存在于栈中

    stack.append(s)
    seen.add(s)
    while len(stack)>0:
        key=stack.pop()
        nodes=graph[key]
        for i in nodes:
            if i not in seen:
                stack.append(i)
                seen.add(i)
            # 如果不在集合中，向栈中添加，并在集合中标记

        print(key)
bfs(graph,"A")

# A
# C
# E
# D
# F
# B

区别：queue.append()统一在右侧添加元素，DFS是利用pop()删除最右端的元素，而BFS是利用pop(0) 删除最左端的元素

2.2 BFS 实现对上图的寻找

graph={ "A":["B","C"],
        "B":["A","C","D"],
        "C":["A","B","D","E"],
        "D":["B","C","E","F"],
        "E":["C","D"],
        "F":["D"]
        }
def bfs(graph,s):
    queue=[]
    seen=set()
    queue.append(s)
    seen.add(s)
    while len(queue)>0:
        key=queue.pop(0)
        nodes=graph[key]
        for i in nodes:
            if i not in seen:
                queue.append(i)
                seen.add(i)
                
        print(key)
bfs(graph,"A")
# A
# B
# C
# D
# E
# F

3.BFS和DFS的区别，优缺点

3.1 区别

  • 搜索方式
    • DFS：从起始节点开始，沿着一条路径尽可能深地探索下去，直到无法继续或达到目标节点，然后回溯到上一个未完全探索的节点，继续探索其他路径，就像走迷宫时一直沿着一条路走到死胡同再回头。
    • BFS：从起始节点开始，先访问其所有相邻节点，然后再依次访问这些相邻节点的相邻节点，一层一层地向外扩展，如同水波一样向四周扩散。
  • 数据结构
    • DFS：通常使用递归或栈来实现。递归实现时，系统会自动使用栈来保存函数调用的上下文信息；也可以手动使用栈来存储待访问的节点。
    • BFS：使用队列来实现，先将起始节点放入队列，然后每次从队列中取出一个节点，访问其相邻节点并将未访问过的相邻节点放入队列。
  • 遍历顺序
    • DFS：遍历顺序是深度优先的，会先深入探索某一条路径上的节点，然后再回溯到其他分支。
    • BFS：遍历顺序是广度优先的，按照距离起始节点的远近依次访问节点，先访问距离近的节点，再访问距离远的节点。

3.2 优缺点

  • DFS
    • 优点：实现相对简单，对于某些问题，如寻找图中的连通分量、拓扑排序等，DFS 的递归性质使其代码简洁明了。在一些情况下，如果目标节点位于较深的层次，DFS 可能会更快地找到目标，因为它会优先沿着一条路径深入探索。
    • 缺点：可能会陷入无限循环，特别是在处理有环的图时，需要额外的机制来标记已访问的节点以避免重复访问。而且它不一定能找到最短路径，因为它是深度优先探索，可能会先找到一条较长的路径到达目标节点。
  • BFS
    • 优点：一定能找到从起始节点到目标节点的最短路径（如果存在），因为它是按照层次依次访问节点的。在处理无权图或边权都相等的图时，BFS 是寻找最短路径的理想算法。
    • 缺点：需要更多的空间来存储队列中的节点，特别是在图的规模较大时，可能会占用大量的内存。而且对于某些问题，其实现可能相对复杂一些，因为需要维护队列和处理节点的访问顺序。

4.DFS经典例题

4.1 矩阵最长递减路径问题

题意：计算每一个格子，由大递减到小所占的格子数

#矩阵最长递减路径
lis=[[1,1,3],
     [2,3,4],
     [1,0,5]]
m,n=3,3
def dfs(i,j,val):
     if i<0 or i==m:    #行出界
          return 0
     if j<0 or j==n:    #列出界
          return 0
     if lis[i][j]>=val: #递增，不符合题意
          return 0
     if (i,j) in dp:
          return dp[(i,j)]
     res=1
     res=max(res,1+dfs(i-1,j,lis[i][j]))  #向上
     res=max(res,1+dfs(i+1,j,lis[i][j]))  #向下
     res=max(res,1+dfs(i,j-1,lis[i][j]))  #向左
     res=max(res,1+dfs(i,j+1,lis[i][j]))  #向右
     dp[(i,j)]=res   #以键值对的形式保存到集合中
     return res
dp={}
for i in range(m):
     for j in range(n):
          res=dfs(i,j,100)
          print(res,end=' ')
     print( )
print(dp)
print(f'最短路径格子数为{max(dp.values())}')
#将取出全部键值对中的值，并输出最大值
 
#输出结果
1 1 2 
3 4 5 
2 1 6 
{(0, 0): 1, (0, 1): 1, (0, 2): 2, (2, 1): 1,
 (2, 0): 2, (1, 0): 3, (1, 1): 4, (1, 2): 5, (2, 2): 6}
最长路径格子数为6

 下图为从递减路径最长的一条，即从右下角的单元格出发的遍历流程图。黑色笔标注的数字代表单元格内的数字，红色笔标注的数字为走过的格子数（画图潦草，请各位读者见谅）

4.2 海域污染问题

N,M=list(map(int,input().split(',')))
lis=[]
n=N
while n>0:
        a=list(map(int,input()))
        lis.append(a)
        n-=1
def dfs(x,y):
        if x<0 or x==N:  # 行出界
                return 0
        if y<0 or y==M:  # 列出界
                return 0
        if lis[x][y]==0: # 坐标值为0
                return 0
        lis[x][y]=0    #将遍历到的不是0的数都变成0
        dfs(x-1,y)     # 向上
        dfs(x+1,y)     # 向下
        dfs(x,y-1)     # 向左
        dfs(x,y+1)     # 向右
count=0
for i in range(N):
        for j in range(M):
                if lis[i][j]==1:
                        dfs(i,j)
                        count+=1
print(count)

输入

4,5
11001
10001
00100
01100

 输出

3

4.3 最大的油田问题

lis=[[1,1,0,0,1],
     [0,0,0,1,0],
     [0,0,0,1,1],
     [1,1,0,1,1]]
hang=len(lis)
lie=len(lis[0])
ans=0
def dfs(x,y):
    if x>=0 and x<hang and y>=0 and y<lie and lis[x][y]==1:
        lis[x][y]=0
        return 1+dfs(x-1,y)+dfs(x+1,y)+dfs(x,y-1)+dfs(x,y+1)
    else:
        return 0
for i in range(hang):
    for j in range(lie):
        area=dfs(i,j)
        if area>ans:
            ans=area
print(ans)
# 5

5.BFS经典例题

5.1 蓝桥杯算法模板题--走迷宫

from collections import deque
N, M = 5, 5
a = [
    [1, 0, 1, 1, 0]
    [1, 1, 0, 1, 1],
    [0, 1, 0, 1, 1],
    [1, 1, 1, 1, 1],
    [1, 0, 0, 0, 1]
]
n, m, c, d = 1, 1, 5, 5
# 因为矩阵下标从 0 开始，将目标坐标转换为 0 索引
c -= 1
d -= 1
n-=1
m-=1

dx = [0, 1, 0, -1]  # 可以在行方向上移动的四个方向：右、下、左、上
dy = [1, 0, -1, 0]  # 可以在列方向上移动的四个方向：右、下、左、上

# 标记矩阵，用于记录节点是否已经访问过
visited = [[False] * M for _ in range(N)]

def bfs(x, y):
    # 创建队列，队列元素为 (x, y, steps)
    queue = deque([(x, y, 0)])
    visited[x][y] = True

    while queue:
        cur_x, cur_y, steps = queue.popleft()
        # 到达目标点
        if cur_x == c and cur_y == d:
            return steps

        for i in range(4):  # 在四个方向上尝试移动
            new_x = cur_x  + dx[i]
            new_y = cur_y  + dy[i]

            # 检查新坐标是否合法且未访问过
            if 0 <= new_x < N and 0 <= new_y < M and a[new_x][new_y] == 1 and not visited[new_x][new_y]:
                visited[new_x][new_y] = True
                queue.append((new_x, new_y, steps + 1))
    return -1 # 如果不满足上述情况返回-1

print(bfs(n,m))

标准提交代码：

from collections import deque

N,M=list(map(int,input().split()))
a=[list(map(int,input().split())) for _ in range(N)]
n,m,c,d=list(map(int,input().split()))
c -= 1
d -= 1
dx = [0, 1, 0, -1]  
dy = [1, 0, -1, 0]  

visited = [[False] * M for _ in range(N)]
def bfs(x, y):
    queue = deque([(x, y, 0)])
    visited[x][y] = True
    while queue:
        cur_x, cur_y, steps = queue.popleft()        
        if cur_x == c and cur_y == d:
            return steps
        for i in range(4):  
            new_x = cur_x  + dx[i]
            new_y = cur_y  + dy[i]          
            if 0 <= new_x < N and 0 <= new_y < M and a[new_x][new_y] == 1 and not visited[new_x][new_y]:
                visited[new_x][new_y] = True
                queue.append((new_x, new_y, steps + 1))
    return -1
print(bfs(n-1,m-1))

5.2 艰难旅程

from collections import deque

def bfs(val,st_row,st_col):
    # val为二维列表，st_row,st_col为起始坐标

    row=len(val)
    col=len(val[0])
    arrived=[[False for j in range(row)] for i in range(col)]
    # 二维列表存储地图上的每个方格是否到达过，初始标记为Flase

    moverow=[0,1,0,-1]
    movecol=[1,0,-1,0]
    # 定义四个方向，以实现向上下左右移动

    ans=1
    queue=deque([(st_row,st_col)])
    arrived[st_row-1][st_col-1]=True  # 因为python是0索引，坐标值减1
    # 将起始坐标放入队列中，记录此点已到达，标记为True

    while queue:
        # queue不为空的时候
        x,y=queue.popleft()
        # 从左端删除并返回位置坐标

        for i in range(4):
            newrow=x+moverow[i]
            newcol=y+movecol[i]
            # 向四个方向移动

            if newrow>row or newrow<=0 or newcol>col or newcol<=0:
                continue
                # 出界

            if not arrived[newrow-1][newcol-1] and val[newrow-1][newcol-1]!=val[x-1][y-1]:
                # 满足条件，未被标记，单元格内值不同

                    queue.append((newrow,newcol))
                    arrived[newrow-1][newcol-1]=True
                # 添加至队列并标记以走过

                    ans+=1
    return ans
val= [
    [1, 0, 1, 1],
    [1, 0, 1, 0],
    [0, 1, 0, 1],
    [0, 0, 1, 1],
]
result = bfs(val,3,3)
print(result)

# 11

 

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