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三维仿射变换-简略版

news 来源：原创 2025/4/29 0:51:04

三维仿射变换（3D Affine Transformation）是三维空间中通过线性变换（旋转、缩放、剪切）和平移组合实现的几何变换，有以下特性：
1、直线性：直线变换后仍为直线；
2、平行性：平行平面变换后仍平行；
3、共线比例不变性：线段上点的相对比例保持不变。

数学表示与变换类型

数学表示：齐次坐标与4×4矩阵
平移（Translation）
缩放（Scaling）
旋转（Rotation）
剪切（Shear）
代码实现

数学表示：齐次坐标与4×4矩阵

三维仿射变换通常使用齐次坐标和4×4矩阵表示，以便统一处理平移和线性变换：
在这里插入图片描述
线性变换部分：左上3×3子矩阵，控制旋转、缩放、剪切：

平移向量：右侧列向量控制位移。

平移（Translation）

仅改变位置，形状和方向不变（角标x、y，z 表示3个维度的方向）：
在这里插入图片描述

缩放（Scaling）

沿坐标轴按比例放大或缩小：

在这里插入图片描述

均匀缩放：S x =Sy =Sz ；
非均匀缩放：比例不同导致形变。

旋转（Rotation）

绕坐标轴旋转角度θ，常用旋转矩阵：

绕X轴：

在这里插入图片描述

绕Y轴

在这里插入图片描述

绕Z轴

剪切（Shear）

沿某一方向倾斜变形：
X方向剪切（影响Y和Z）：
在这里插入图片描述
Y方向剪切（影响X和Z）：

代码实现

NumPy：使用4×4矩阵进行变换计算。

import numpy as np

# 定义点（齐次坐标）
point = np.array([1, 2, 3, 1])

# 绕Y轴旋转90度 + 平移(5,0,0)
M = np.array([
    [0, 0, 1, 5],
    [0, 1, 0, 0],
    [-1, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 1]
])

# 应用变换
transformed_point = M @ point
print(transformed_point[:3])  # 输出 [8, 2, -1]