数学知识-质数

一、质数

• 质数又称素数。一个大于 $1$ 的自然数，除了 $1$ 和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定 1 既不是质数也不是合数）。
• 质数具有如下性质：
• （1） 质数 $p$ 的约数只有两个：$1$ 和 $p$。
• （2） 初等数学基本定理：任一大于 $1$ 的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。
• （3） 质数的个数是无限的。
• （4） 若 $n$ 为正整数，在 $n^2$ 到 $(n+1{)}^2$ 之间至少有一个质数。
• （5） 所有大于 $10$ 的质数中，个位数只有 $1，3，7，9$。

二、质数的判定——试除法

题目描述

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，判定每个数是否是质数。

输入格式

第一行包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含一个正整数 $a_i$。

输出格式

共 $n$ 行，其中第 $i$ 行输出第 $i$ 个正整数 $a_i$ 是否为质数，是则输出 Yes，否则输出 No。

数据范围

$1\le n\le 100$
$1\le a_i\le 2^{31-1}$

输入样例

2
2
6

输出样例

Yes
No

具体实现

1. 实现思路

• 暴力写法：可以从质数的常规定义出发，首先判断这个数是不是大于等于 2 的，然后判断在 2 到这个数之间是否还有别的约数，如果没有，那么这个数就是质数，反之就不是质数。该暴力写法的时间复杂度是 $O(n)$。
• 对上述暴力写法进行优化时，需要利用到质数的一个性质。
• 当$d$ 可以整除 $n$ 时，显然，$n/d$ 也可以整除 $n$。例如，当 $n=12$ 时，$3$ 是 $12$ 的约数，$4$ 也是 $12$ 的约数，他们是成对存在的。
• 因此，在我们枚举的过程中，只需要枚举其中较小的一个即可，优化过后的时间复杂度是 $O(\sqrt{n})$。

2. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

bool is_prime(int x)
{
    //判断这个数是否大于等于 2 
    if (x < 2)
    {
        return false;
    }
    //判断是否还有别的约束
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
    {
        if (x % i == 0)
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;
        if (is_prime(x))
        {
            puts("Yes");
        }
        else 
        {
            puts("No");
        }
    }

    return 0;
}

三、分解质因数——试除法

题目描述

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

输入格式

第一行包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含一个正整数 $a_i$。

输出格式

对于每个正整数 $a_i$，按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。
每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。

数据范围

$1\le n\le 100$
$2\le a_i\le 2\times 10^9$

输入样例

2
6
8

输出样例

2 1
3 1
（空行）
2 3
（空行）

具体实现

1. 实现思路

• 我们需要注意的是，质因数的底数必须是质数。
• 暴力写法：从小到大枚举 $n$ 的所有质因数，如果 $n$ 模 $i$ 等于 $0$，就求出 $i$ 的次数即可。

void divide(int x)
{
    for (int i = 2; i <= x; i ++ )
    {
        if (x % i == 0) //i一定是质数
        {
            int s = 0;
            while (x % i == 0) 
            {
                x /= i;
                s ++ ;
            }
            cout << i << ' ' << s << endl;
        }
    }
}

• 随后在对 $n$ 进行是否大于 $1$ 的判断即可。
• 对上述写法进行优化，我们需要使用质数的如下性质。
• $x$ 的质因子最多只包含一个大于 $\sqrt{x}$ 的质数。如果有两个，这两个因子的乘积就会大于 $x$，矛盾。
• 然后，我们 $i$ 从 $2$ 遍历到 $\sqrt{x}$。 用 $x/i$，如果余数为 $0$，则 $i$ 是一个质因子。
• $s$ 表示质因子 $i$ 的指数，$x/=i$ 为 $0$，则 $s+=1$，$x=x/i$ 。
• 最后检查是否有大于 $\sqrt{x}$ 的质因子，如果有，输出。
• 时间复杂度便会从 $O(n)$ 降低到 $O(\sqrt{n})$。

2. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

void divide(int x)
{
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
    {
        if (x % i == 0) //i一定是质数
        {
            int s = 0;
            while (x % i == 0) 
            {
                x /= i;
                s ++ ;
            }
            cout << i << ' ' << s << endl;
        }
    }
    if (x > 1)
    {
        cout << x << ' ' << 1 << endl;
    }
    cout << endl;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;
        divide(x);
    }

    return 0;
}

四、筛质数

题目描述

给定一个正整数 $n$，请你求出 $1\sim n$ 中质数的个数。

输入格式

共一行，包含整数 $n$。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示 $1\sim n$ 中质数的个数。

数据范围

$1\le n\le 10^6$

输入样例

8

输出样例

4

具体实现

1. 朴素筛法

1.1 实现思路

• 首先，我们将所有的数放入一个数组当中，然后从前往后观察，依次将每一个数的倍数删除掉。
• 经过这样筛选过后，剩下的数就都是质数。

1.2 实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N= 1000010;

//cnt表示质数的个数
int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (st[i])
        {
            //跳出本次循环
            continue;
        }
        //primes[]数组存储质数
        primes[cnt ++ ] = i;
        //去除倍数
        for (int j = i + i; j <= n; j += i)
        {
            st[j] = true;
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    get_primes(n);

    cout << cnt << endl;

    return 0;
}

2. 线性筛法

2.1 实现思路

• 算法核心：$n$ 只会被其的最小质因子筛掉。
• 当 $n$ 为一个合数的时候，如果 $i$ 比 $n/pj$ 还小，就一定会被筛掉。
• 判断 $i\mathrm{mod}pj==0$，$pj$ 一定是 $i$ 的最小质因子，$pj$ 也一定是 $pj\ast i$ 最小质因子。
• 判断 $i\mathrm{mod}pj!=0$, $pj$ 一定小于 $i$ 的所有质因子，$pj$ 也一定是 $pj\ast i$ 最小质因子。
• 于一个合数 $x$，假设 $pj$ 是 $x$ 的最小质因子，当 $i$ 枚举到 $x/pj$ 的时候，一定会被筛掉。

2.2 实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N= 1000010;

int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt ++ ] = i;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0)  //primes[j]一定是i的最小质因子
            {
                break;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    get_primes(n);

    cout << cnt << endl;

    return 0;
}